Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f(x) = m · x + b

Passo 1

Bora detonar esse exercício! Vamos começar lembrando da fórmula de derivada por definição, que é essa aqui:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Em segundo lugar, vemos que a nossa função é a função polinomial do primeiro grau escrita de forma genérica.

f x = m   . x + b

Fica atento: m e b são constantes aí, falou?

No final, devemos definir quais são os domínios (isso é, os valores que x pode assumir) para a função e sua derivada.

Passo 2

Temos a seguinte expressão para calcular a derivada.

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

E a nossa função em x e em x + h é:

f x = m x + b

f x + h = m x + h + b

Substituindo no nosso limite para encontrar a derivada, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ m   . x + h + b - m   . x + b h

Fazendo as multiplicações e o devido jogo de sinal, vai ficar assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡ m   .   x + m   .   h + b - m   .   x - b h

Podemos cancelar m   . x com - m   . x e também b com - b , ficado desse jeito:

f ' x = lim h → 0 ⁡ m   . h h

Ta quase resolvido o limite! Vamos cancelar o h do numerador com o do denominador:

f ' x = lim h → 0 ⁡   m

Como o limite de qualquer constante é uma constante (fica atento nas propriedades de limite!), então teremos que:

f ' x = m

Passo 3

Agora, devemos analisar quem são os domínios da função e de sua derivada.

Como f é uma função polinomial, podemos afirmar de cara que seu domínio é o conjunto dos números reais R . Isso acontece com qualquer função polinomial, pois ela não tem nenhuma restrição no seu domínio, qualquer valor de x ali é válido.

D f = R

A mesma coisa acontece com a função constante – seu domínio é R . Isso acontece pois a função constante sequer depende de x , logo, qualquer valor de   x é válido, a derivada é definida e vale m .

D f ' = R

Logo, teremos que os domínios de f e f ' são iguais à R .

Resposta

f ' x = m

D f = R

D f ' = R

f e f ' tem o mesmo domínio, sendo este domínio o conjunto dos números reais R .

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