Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.8 - Ex. 22

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Bora detonar esse exercício! Vamos começar lembrando da fórmula de derivada por definição, que é essa aqui:

Em segundo lugar, vemos que a nossa função é a função polinomial do primeiro grau escrita de forma genérica.

Fica atento: e são constantes aí, falou?

No final, devemos definir quais são os domínios (isso é, os valores que pode assumir) para a função e sua derivada.

Passo 2

Temos a seguinte expressão para calcular a derivada.

E a nossa função em e em é:

Substituindo no nosso limite para encontrar a derivada, temos:

Fazendo as multiplicações e o devido jogo de sinal, vai ficar assim:

Podemos cancelar com e também com , ficado desse jeito:

Ta quase resolvido o limite! Vamos cancelar o do numerador com o do denominador:

Como o limite de qualquer constante é uma constante (fica atento nas propriedades de limite!), então teremos que:

Passo 3

Agora, devemos analisar quem são os domínios da função e de sua derivada.

Como é uma função polinomial, podemos afirmar de cara que seu domínio é o conjunto dos números reais . Isso acontece com qualquer função polinomial, pois ela não tem nenhuma restrição no seu domínio, qualquer valor de ali é válido.

A mesma coisa acontece com a função constante – seu domínio é . Isso acontece pois a função constante sequer depende de , logo, qualquer valor de é válido, a derivada é definida e vale .