Calcule a derivada

y = ln(raiz((1 + sen(x)) / (1 - sen(x))))

Passo 1

Nessa questão, temos uma bela composição de funções: uma função trigonométrica dentro de uma função raiz dentro de um logaritmo! Pra resolver uma parada dessas, vamos usar a regra da cadeia.

d y d x = d d x ln ⁡ 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Primeiro, vamos derivar o logaritmo. A derivada de l n fica:

d d x ln ⁡ f x = 1 f x f ' x

Então, no nosso caso, vai ficar:

d y d x = 1 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x ⋅ d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Beleza, agora vamos derivar essa raiz. Ela é derivada assim:

d d x f x = 1 2 f x f ' x

Então, aplicando aqui:

d y d x = 1 - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x ⋅ 1 2 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x ⋅ d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Arrumando:

d y d x = 1 - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x ⋅ 1 2 1 - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x ⋅ d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Juntando os termos iguais:

d y d x = 1 2 1 - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x ⋅ d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Passo 2

Beleza, só falta essa derivada da função trigonométrica. Como ela tem uma fração, vamos usar a regra do quociente!

d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x = ( 1 + s e n x ) ' 1 - sen ⁡ x - 1 + sen ⁡ x ( 1 - s e n x ) ' 1 - sen ⁡ x 2

As derivadas que temos que fazer agora são trigonométricas bem simples!

d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x = cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x - 1 + sen ⁡ x - cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 2

Fazendo a distributiva:

d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x = cos ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 2

Arrumando:

d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x = 2 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 2

Passo 3

Agora é só substituir lá na expressão geral!

d y d x = 1 2 1 - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x ⋅ d d x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

Substituindo,

d y d x = 1 2 1 - sen ⁡ x 1 + sen ⁡ x ⋅ 2 cos ⁡ x 1 - sen ⁡ x 2

Simplificando,

d y d x = cos ⁡ x 1 + sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x

O termo de baixo é uma diferença de quadrados, que pela relação fundamental vai ficar:

d y d x = c o s x 1 - s e n 2 x = c o s x cos 2 ⁡ x

Portanto,

d y d x = sec ⁡ x

Resposta

d y d x = sec ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados