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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2i

Calcule a derivada.

y = (t^3)/((t^2 + 1)^2)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f^' (t) = (g^' (t) h (t) - g (t) h ' (t))/([h (t)]^2)

Onde:

g (t) = t^3

e

h (t) = ln (3 t + 1)

Assim temos então que:

((t^3)/((t^2 + 1)^2))^' = (g^' (t) h (t) - g (t) h ' (t))/([h (t)]^2) = ((t^3)^' ((t^2 + 1)^2) - (t^3) ((t^2 + 1)^2)^')/([(t^2 + 1)^2]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio, além da regra da cadeia:

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular g^' (t) :

g^' (t) = (t^3)^' = 3 t^(3 - 1) = 3 t^2

Agora para h^' (t) :

h^' (t) = ((t^2 + 1)^2)^' = 2 (t^2 + 1)^(2 - 1) (t^2 + 1)^' = 2 (t^2 + 1) (2 t^(2 - 1) + 0) = (2 t^2 + 2) (2 t) = 4 t^3 + 4 t

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((t^3)/((t^2 + 1)^2))^' = ((t^3)^' ((t^2 + 1)^2) - (t^3) ((t^2 + 1)^2)^')/([(t^2 + 1)^2]^2) = (3 t^2 ((t^2 + 1)^2) - (t^3) (4 t^3 + 4 t))/((t^2 + 1)^4) = (3 t^2 ((t^2 + 1)^2) - (t^3) 4 t (t^2 + 1))/((t^2 + 1)^4) = (3 t^2 (t^2 + 1) - (t^3) 4 t)/((t^2 + 1)^3) = (3 t^4 + 3 t^2 - 4 t^4)/((t^2 + 1)^3) = (- t^4 + 3 t^2)/((t^2 + 1)^3)

Resposta

y^' = (- t^4 + 3 t^2)/((t^2 + 1)^3)

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