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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2h

Calcule a derivada.

y = (x^2 + 1)/(sqrt(x + 1))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f^' (x) = (g^' (x) h (x) - g (x) h ' (x))/([h (x)]^2)

Onde:

g (x) = x^2 + 1

e

h (x) = sqrt(x + 1)

Assim temos então que:

((x^2 + 1)/(sqrt(x + 1)))^' = (g^' (x) h (x) - g (x) h ' (x))/([h (x)]^2) = ((x^2 + 1)^' (sqrt(x + 1)) - (x^2 + 1) (sqrt(x + 1))^')/([sqrt(x + 1)]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio, além da regra da cadeia:

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular g^' (x) :

g^' (x) = (x^2 + 1)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x

Agora para h^' (x) :

h^' (x) = (sqrt(x + 1))^' = ((x + 1)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (x + 1)^((1)/(2) - 1) (x + 1)^' = (1)/(2) (x + 1)^(- (1)/(2)) (x^(1 - 1) + 0) = (1)/(2 sqrt(x + 1)) (x^0) = (1)/(2 sqrt(x + 1)) (1) = (1)/(2 sqrt(x + 1))

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((x^2 + 1)/(sqrt(x + 1)))^' = ((x^2 + 1)^' (sqrt(x + 1)) - (x^2 + 1) (sqrt(x + 1))^')/([sqrt(x + 1)]^2) = (2 x (sqrt(x + 1)) - (x^2 + 1) ((1)/(2 sqrt(x + 1))))/(x + 1) = (2 x sqrt(x + 1) + (- x^2 - 1)/(2 sqrt(x + 1)))/(x + 1) = ((4 x sqrt(x + 1) sqrt(x + 1) - x^2 - 1)/(2 sqrt(x + 1)))/(x + 1) = (4 x sqrt(x + 1) sqrt(x + 1) - x^2 - 1)/(2 sqrt(x + 1)) * ((1)/(x + 1)) = (4 x (x + 1) - x^2 - 1)/(2 (x + 1) sqrt(x + 1)) = (4 x^2 + 4 x - x^2 - 1)/(2 (x + 1) sqrt(x + 1)) = (3 x^2 + 4 x - 1)/(2 (x + 1) sqrt(x + 1))

Resposta

y^' = (3 x^2 + 4 x - 1)/(2 (x + 1) sqrt(x + 1))

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