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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2u

Calcule a derivada.

y = (1)/(2) cotg^2 5 x + ln sen 5 x

Passo 1

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função logarítmica natural e do polinômio:

(cot g (x))^' = - cosec^2 (x)

(sen (x))^' = cos (x)

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = ((1)/(2) cotg^2 5 x + ln sen 5 x)^' = ((1)/(2) cotg^2 5 x)^' + (ln sen 5 x)^'

Vamos resolver a primeira derivada:

((1)/(2) co tg^2 5 x)^' = 2 * (1)/(2) co tg^(2 - 1) 5 x * (co tg 5 x)^' = co tg 5 x (- cosec^2 5 x) (5 x)^' = - cotg 5 x cosec^2 5 x (5 x^(1 - 1)) = - cotg 5 x cosec^2 5 x (5 x^0) = - cotg 5 x cosec^2 5 x (5 * 1) = - 5 cotg 5 x cosec^2 5 x

Agora a segunda:

(ln sen 5 x)^' = (1)/(sen 5 x) * (sen 5 x)^' = (1)/(sen 5 x) * (cos 5 x) (5 x)^' = co tg 5 x (5 x^(1 - 1)) = cotg 5 x (5 x^0) = cotg 5 x (5 * 1) = 5 cotg 5 x

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((1)/(2) cotg^2 5 x)^' + (ln sen 5 x)^' = - 5 cotg 5 x cosec^2 5 x + 5 cotg 5 x = - 5 cotg 5 x (cosec^2 5 x - 1) = - 5 cotg 5 x cotg^2 5 x = - 5 cotg^3 5 x

Resposta

y^' = - 5 cotg^3 5 x

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