Calcule a derivada.

y = 1 / 2 \* cotg^2(5x) + ln(sen(5x))

Passo 1

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função logarítmica natural e do polinômio:

cot g ⁡ x ' = - cosec 2 ⁡ x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos aplicar:

y ' = 1 2 cotg 2 ⁡ 5 x + ln ⁡ sen ⁡ 5 x ' = 1 2 cotg 2 ⁡ 5 x ' + ln ⁡ sen ⁡ 5 x '

Vamos resolver a primeira derivada:

1 2 co tg 2 ⁡ 5 x ' = 2 ⋅ 1 2 co tg 2 - 1 ⁡ 5 x ⋅ co tg ⁡ 5 x ' = co tg ⁡ 5 x - cosec 2 ⁡ 5 x 5 x ' = - cotg ⁡ 5 x cosec 2 ⁡ 5 x 5 x 1 - 1 = - cotg ⁡ 5 x cosec 2 ⁡ 5 x 5 x 0 = - cotg ⁡ 5 x cosec 2 ⁡ 5 x 5 ⋅ 1 = - 5 cotg ⁡ 5 x cosec 2 ⁡ 5 x

Agora a segunda:

ln ⁡ sen ⁡ 5 x ' = 1 sen ⁡ 5 x ⋅ sen ⁡ 5 x ' = 1 sen ⁡ 5 x ⋅ cos ⁡ 5 x 5 x ' = co tg ⁡ 5 x 5 x 1 - 1 = cotg ⁡ 5 x 5 x 0 = cotg ⁡ 5 x 5 ⋅ 1 = 5 cotg ⁡ 5 x

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = 1 2 cotg 2 ⁡ 5 x ' + ln ⁡ sen ⁡ 5 x ' = - 5 cotg ⁡ 5 x cosec 2 ⁡ 5 x + 5 cotg ⁡ 5 x = - 5 cotg ⁡ 5 x cosec 2 ⁡ 5 x - 1 = - 5 cotg ⁡ 5 x cotg 2 ⁡ 5 x = - 5 cotg 3 ⁡ 5 x

Resposta

y ' = - 5 cotg 3 ⁡ 5 x

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