Calcule a derivada.

g(x) = e^(sec(raiz(x))) / x

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f ' x = h ' x t x - h x t ' x t x 2

Onde:

h x = e sec ⁡ x

e

t x = e t + e - t

Assim temos então que:

e sec ⁡ x x ' = h ' x t x - h x t ' x t x 2 = e sec ⁡ x ' x - e sec ⁡ x x ' x 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular h ' x :

h ' x = e sec ⁡ x ' = e sec ⁡ x sec ⁡ x ' = e sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x ⋅ x ' = e sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x ⋅ 1 2 x 1 2 - 1 = e sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x ⋅ 1 2 x - 1 2 = e sec ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x 2 x

Agora para t ' x :

t ' x = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

g ' x = e sec ⁡ x x ' = e sec ⁡ x ' x - e sec ⁡ x x ' x 2 = e sec ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x 2 x x - e sec ⁡ x 1 x 2 = x e sec ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x 2 x - e sec ⁡ x x 2 = x e sec ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x - 2 x e sec ⁡ x 2 x x 2 = x e sec ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x - 2 x e sec ⁡ x 2 x ⋅ 1 x 2 = x e sec ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x - 2 x e sec ⁡ x 2 x 2 x

Resposta

g ' x = x e sec ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x - 2 x e sec ⁡ x 2 x 2 x

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