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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2g

Calcule a derivada.

s = t ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (t) g (t))^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t)

No nosso caso,

f (t) = t

g (t) = ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1)

Então, substituindo na expressão da regra:

(t ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = (t)^' * (ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1)) + (ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' * (t)

Passo 2

Essas derivadas a gente vai calcular aqui separado. A de t é mais tranquila, que dá 1 , mas a do l n tem o maior carão feio! Para derivar o logaritmo natural, vamos usar a regra da cadeia:

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

Então, pra nossa função:

(ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = (1)/((t^2 - 1)/(t^2 + 1)) * ((t^2 - 1)/(t^2 + 1))^'

Agora precisamos derivar essa parada aí. Pra isso, vamos ter que usar a regra do quociente!

((f (t))/(g (t)))^' = (f^' (t) g (t) - f (t) g ' (t))/([g (t)]^2)

Então, na questão:

((t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = ((t^2 - 1)^' (t^2 + 1) - (t^2 - 1) (t^2 + 1)^')/(( t^2 + 1 )^2)

Agora é só polinômio, que é bem moleza:

((t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = (2 t (t^2 + 1) - (t^2 - 1) 2 t)/(( t^2 + 1 )^2)

Desenvolvendo,

((t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = (2 t^3 + 2 t - 2 t^3 + 2 t)/((t^2 + 1)^2) = (4 t)/((t^2 + 1)^2)

Então essa derivada do l n :

(ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = (1)/((t^2 - 1)/(t^2 + 1)) * (4 t)/((t^2 + 1)^2)

Ajeitando e simplificando,

(ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = (t^2 + 1)/(t^2 - 1) * (4 t)/((t^2 + 1)^2) = (4 t)/(t^4 - 1)

Passo 3

Agora é só substituir na expressão original!

(t ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = (t)^' * (ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1)) + (ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' * (t)

(t ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1))^' = 1 * (ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1)) + (4 t)/(t^4 - 1) * (t)

Portanto,

s^' = ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1) + (4 t^2)/(t^4 - 1)

Resposta

s ' = ln (t^2 - 1)/(t^2 + 1) + (4 t^2)/(t^4 - 1)

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