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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2r

Calcule a derivada.

s = (2^(3 t) - 2^(- 3 t))/(2^(3 t) + 2^(- 3 t))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

g^' (t) = (f^' (t) h (t) - f (t) h ' (t))/([h (t)]^2)

Onde:

f (t) = 2^(3 t) - 2^(- 3 t)

e

h (t) = 2^(3 t) + 2^(- 3 t)

Assim temos então que:

s^' = ((e^t - e^(- t))/(e^t + e^(- t)))^' = (f^' (t) h (t) - f (t) h ' (t))/([h (t)]^2) = ((2^(3 t) - 2^(- 3 t))^' (2^(3 t) + 2^(- 3 t)) - (2^(3 t) - 2^(- 3 t)) (2^(3 t) + 2^(- 3 t))^')/([2^(3 t) + 2^(- 3 t)]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

(a^(f (x)))^' = a^(f (x)) * ln (a) * (f (x))^'

(t^n)^' = n t^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (t) :

f^' (t) = (2^(3 t) - 2^(- 3 t))^' = 2^(3 t) ln 2 (3 t)^' - 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 t) = 2^(3 t) ln 2 (3 t^(1 - 1)) - 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 t^(1 - 1)) = 2^(3 t) ln 2 (3 t^0) - 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 t^0) = 2^(3 t) ln 2 (3 * 1) - 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 * 1) = 2^(3 t) 3 ln 2 + 2^(- 3 t) 3 ln 2

Agora para h^' (t) :

h^' (t) = (2^(3 t) + 2^(- 3 t))^' = 2^(3 t) ln 2 (3 t)^' + 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 t) = 2^(3 t) ln 2 (3 t^(1 - 1)) + 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 t^(1 - 1)) = 2^(3 t) ln 2 (3 t^0) + 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 t^0) = 2^(3 t) ln 2 (3 * 1) + 2^(- 3 t) ln 2 (- 3 * 1) = 2^(3 t) 3 ln 2 - 2^(- 3 t) 3 ln 2

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

s^' = ((2^(3 t) - 2^(- 3 t))^' (2^(3 t) + 2^(- 3 t)) - (2^(3 t) - 2^(- 3 t)) (2^(3 t) + 2^(- 3 t))^')/([2^(3 t) + 2^(- 3 t)]^2) = ((2^(3 t) 3 ln 2 + 2^(- 3 t) 3 ln 2) (2^(3 t) + 2^(- 3 t)) - (2^(3 t) - 2^(- 3 t)) (2^(3 t) 3 ln 2 - 2^(- 3 t) 3 ln 2))/((2^(3 t) + 2^(- 3 t))^2) = (2^(6 t) 3 ln 2 + 2^0 3 ln 2 + 2^0 3 ln 2 + 2^(- 6 t) 3 ln 2 - 2^(6 t) 3 ln 2 + 2^0 3 ln 2 + 2^0 3 ln 2 - 2^(- 6 t) 3 ln 2)/((2^(3 t) + 2^(- 3 t))^2) = (1 * 3 ln 2 + 1 * 3 ln 2 + 1 * 3 ln 2 + 1 * 3 ln 2)/((2^(3 t) + 2^(- 3 t))^2) = (12 ln 2)/((2^(3 t) + 2^(- 3 t))^2)

Resposta

s^' = (12 ln 2)/((2^(3 t) + 2^(- 3 t))^2)

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