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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 41

Encontre a derivada da função.

f ( t ) = sen 2 ⁡ e s en 2 ⁡ t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f t = d d t sen 2 ⁡ e s en 2 ⁡ t

Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

d y d t = d y d u ∙ d u d t

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos que u = sen ⁡ e s en 2 ⁡ t , logo:

f ' t = d d u u 2 ∙ d d t sen ⁡ e s en 2 ⁡ t ∴

f ' t = 2 u ∙ d d t sen ⁡ e s en 2 ⁡ t ∴

Substituindo u :

f ' t = 2 sen ⁡ e s en 2 ⁡ t ∙ d d t sen ⁡ e s en 2 ⁡ t

Agora vamos aplicar a regra da cadeia nessa derivada que sobrou!!

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em g ' t = d d t sen ⁡ e s en 2 ⁡ t , fazendo u = e s en 2 ⁡ t , temos:

g ' t = d d u sin ⁡ u ∙ d d t e s en 2 ⁡ t ∴

g ' t = cos ⁡ u ∙ d d t e s en 2 ⁡ t

Substituindo u :

g ' t = cos ⁡ e s en 2 ⁡ t ∙ d d t e s en 2 ⁡ t

Agora vamos resolver essa outra derivada que restou!!

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em w ' t = d d t e s en 2 ⁡ t , fazendo u = s en 2 ⁡ t , temos:

w ' t = d d u e u ∙ d d t s en 2 ⁡ t ∴

w ' t = e u ∙ d d t s en 2 ⁡ t

Substituindo u :

w ' t = e s en 2 ⁡ t ∙ d d t s en 2 ⁡ t

Agora vamos resolver essa outra derivada que restou!! (A última haha)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia em p ' t = d d t s en 2 ⁡ t , fazendo u = sen ⁡ t , temos:

p ' t = d d u u 2 ∙ d d t sen ⁡ t ∴

p ' t = 2 u ∙ cos ⁡ t

Substituindo u :

p ' t = 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t

Passo 6

Aplicando p ' t em w ' t , temos:

w ' t = e s en 2 ⁡ t ∙ 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t

Aplicando agora w ' t em g ' t , temos:

g ' t = cos ⁡ e s en 2 ⁡ t ∙ e s en 2 ⁡ t ∙ 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t

E, por fim, aplicando g ' t em f ' t , temos:

f ' t = 2 sen ⁡ e s en 2 ⁡ t ∙ cos ⁡ e s en 2 ⁡ t ∙ e s en 2 ⁡ t ∙ 2 sen ⁡ t ∙ cos ⁡ t

Rearranjando, temos que:

f ' t = 4 sen ⁡ e s en 2 ⁡ t cos ⁡ e s en 2 ⁡ t e s en 2 ⁡ t . sen ⁡ t . cos ⁡ t

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f ' t = 4 sen ⁡ e s en 2 ⁡ t cos ⁡ e s en 2 ⁡ t e s en 2 ⁡ t . sen ⁡ t . cos ⁡ t

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