Enunciado

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

34. sec (x + y) - sec (x - y) = 1

Passo 1

Não podemos separar x e y nos lados direito e esquerdo, então precisamos derivar dos dois lados para obtermos a derivada implícita:

(d)/(d x) [sec (x + y) - sec (x - y)] = (d)/(d x) (1)

Passo 2

A derivada no lado direito é simples:

(d)/(d x) (1) = 0

E a derivada do lado esquerdo vamos reescrever como:

(d)/(d x) [sec (x + y) - sec (x - y)] = (d)/(d x) [sec (x + y)] - (d)/(d x) [sec (x - y)]

E agora vamos resolver cada derivada separadamente, nas duas precisaremos aplicar a Regra da Cadeia, pois y é uma função de x. Primeiro vamos derivar a função de fora:

(d)/(d t) (s e c t) = t g t s e c t

Então substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela, no primeiro caso vai ficar:

(d)/(d x) [sec (x + y)] = t g (x + y) s e c (x + y) (d)/(d x) (x + y)

A derivada que sobrou podemos fazer diretamente, o resultado de tudo então será:

(d)/(d x) [sec (x + y)] = t g (x + y) s e c (x + y) ( 1 + y^' )

Para o segundo caso:

(d)/(d x) [sec (x - y)] t g (x - y) s e c (x - y) (d)/(d x) (x - y)

Que vai ficar:

(d)/(d x) [sec (x - y)] = t g (x - y) s e c (x - y) (1 - y ')

Passo 3

Pronto, agora só precisamos substituir os resultados que calculamos lá no Passo 1:

(d)/(d x) [sec (x + y) - sec (x - y)] = (d)/(d x) (1)

Assim:

t g (x + y) s e c (x + y) ( 1 + y^' ) - t g (x - y) s e c (x - y) (1 - y ') = 0

Reescrevendo:

y^' t g (x + y) s e c (x + y) + t g (x + y) s e c (x + y) + y^' t g (x - y) s e c (x - y) - t g (x - y) s e c (x - y) = 0

y ' [t g (x + y) s e c (x + y) + t g (x - y) s e c (x - y)] = t g (x - y) s e c (x - y) - t g (x + y) s e c (x + y)

y^' = (d y)/(d x) = (t g (x + y) s e c (x + y) + t g (x - y) s e c (x - y))/(t g (x - y) s e c (x - y) - t g (x + y) s e c (x + y))

Resposta

(d y)/(d x) = (t g (x + y) s e c (x + y) + t g (x - y) s e c (x - y))/(t g (x - y) s e c (x - y) - t g (x + y) s e c (x + y))

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