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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 56

Encontre a derivada indicada.

lambda = ((a u + b)/(c u + d))^6 ; encontre (d lambda)/(d u) ( a , b , c , d c o n s t a n t e s ) .

Passo 1

Falaaa aí! Tudo joia?

Se liga só, a derivada que a gente quer é (d y)/(d u) , ou seja, a gente quer a derivada dessa função y em relação a u , o problema já nos falou que a , b , c , d são constantes, então não se preocupe com eles!

É uma função composta, então a gente vai usar a regrinha da Cadeia, que é assim:

(f (g))^' = f^' (g) * g '

Beleza? Bora lá!

Passo 2

Vamos lá, aqui a gente tem:

f = x^6 e g = ((a u + b)/(c u + d))

Vamos montar a derivada então...

(d y)/(d u) = 6 ((a u + b)/(c u + d))^5 ((a u + b)/(c u + d))^'

Agora a gente vai usar a regra do quociente pra derivar essa expressãozinha ali no final...

(d y)/(d u) = 6 ((a u + b)/(c u + d))^5 (((a u + b)^' (c u + d) - (a u + b) (c u + d)^'))/((c u + d)^2)

(d y)/(d u) = 6 ((a u + b)/(c u + d))^5 ((a (c u + d) - (a u + b) (c))/((c u + d)^2))

(d y)/(d u) = 6 ((a u + b)/(c u + d))^5 ((a c u + a d - a c u - b c)/((c u + d)^2))

(d y)/(d u) = 6 ((a u + b)/(c u + d))^5 ((a d - b c)/((c u + d)^2))

E... ufaaa! É isso😉

Resposta

(d y)/(d u) = 6 ((a u + b)/(c u + d))^5 ((a d - b c)/((c u + d)^2))

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