Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 21
7 – 46 Encontre a derivada da função.
21.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pediu para gente encontrar a derivada da função dada por:
E perceba que essa função é formada por uma função dentro de uma raiz quadrada. Ou seja, temos uma função dentro da outra. E podemos olhar pra ela como sendo
Que é a função de dentro. E
Como a função de fora.
A derivada da função composta é dada pela regra da cadeia. Sendo:
Ou seja, a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
Boa, agora basta irmos atrás de cada uma dessas parte para substituir na regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar derivando a função de fora. Sendo
Podemos transformar essa raiz em uma potência de expoente fracionário usando a seguinte regra:
Assim:
E sua derivada pode ser calculada usando a regra do expoente.
E teremos:
Invertendo a potência de expoente negativo e voltando para a forma de raiz, teremos:
Maravilha.
Passo 3
Agora vamos derivar a função de dentro. Sendo
Mas perceba que a função é formada pela divisão de outras duas funções. Podemos pensar nelas como sendo
E
Sendo assim, para fazer essa derivada precisaremos usar a regra do quociente. Ela diz que
Derivando e teremos:
Então
E
Então
Colocando isso na regra do quociente, ficamos com:
Fazendo a soma
Agora já temos tudo que precisávamos.
Passo 4
Lembrando que
E fizemos:
com
E
Assim, a derivada será
Substituindo na equação:
Como
então a derivada é igual a
Podemos reescrever a expressão como
Simplificando em cima e embaixo:
E prontinho. Derivada devidamente calculada.