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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 32

7 – 46 Encontre a derivada da função.

32.

F t = t 2 t 3 + 1

Passo 1

Fala aí, pessoal

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

F t = t 2 t 3 + 1

E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.

No caso dessa função temos uma divisão entre duas ouras função. Podemos pensar nelas como sendo:

u = t 2

e

v = t 3 + 1

Assim,

F t = u v

E para encontrar a derivada de funções desse tipo, podemos usar a regra do quociente. Assim, devemos fazer:

F ' t = u ' v - u v ' v 2

Mas perceba o seguinte, para aplicar a regra do quociente, precisaremos das funções u e v e de suas derivadas. E quando olhamos para a as funções v , percebemos que temos uma função dentro da outra, já que temos um polinômio dentro de uma raiz quadrada. Quando isso acontece temos uma função composta.

u = f g t

E sua derivada será calculada pela regra da cadeia. Sendo:

u ' =   f g t ' = f ' g ⋅ g ' t

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora e multiplicamos pela derivada da função de dentro.

Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te te mostro tudinho!

Passo 2

Temos a função:

F t = t 2 t 3 + 1

Onde estamos olhando para

u = t 2

e

v = t 3 + 1

Assim,

F t = u v

E sua derivada será

F ' t = u ' v - u v ' v 2

Assim, vamos atrás de cada um dos itens para substituir nessa fórmula.

Começando com

u = t 2

Sua derivada é calculada diretamente pela regra do expoente, assim

u ' = 2 t

Passo 3

Perfeito, agora faremos a derivada de v

v = t 3 + 1

Vamos escrever a raiz em forma de expoente fracionário. Assim

v = t 3 + 1 1 2

Aqui precisamos usar a regra da cadeia. Assim faremos:

v = f g t = g 1 2

Com g = t 3 + 1

E g ' = 3 t 2

v ' = f ' g ⋅ g ' r

Assim,

v ' = 1 2 g - 1 2 ⋅ g '

Então

v ' = 1 2 t 3 + 1 - 1 2 ⋅ 3 t 2

Que pode ser escrito como:

v ' = 3 t 2 2 1 t 3 + 1 1 2

Ajustando um pouco melhor e voltando para a raiz, teremos:

v ' = 3 t 2 2 t 3 + 1

Perfeito. Agora já temos tudo que precisávamos, basta substituir na regra do quociente.

Passo 4

Sabendo que

F t = t 2 t 3 + 1

E sua derivada será

F ' t = u ' v - u v ' v 2

Onde estamos olhando para

u = t 2

Com

u ' = 2 t

E

v = t 3 + 1

com

v ' = 3 t 2 2 t 3 + 1

E sua derivada será

F ' t = 2 t   ⋅ t 3 + 1 - t 2 ⋅ 3 t 2 2 t 3 + 1 t 3 + 1 2

Podemos reescrever a equação assim, para ficar mais fácil de fazer as contas:

F ' t = 2 t t 3 + 1 - 3 t 4 2 t 3 + 1 ⋅ 1 t 3 + 1

Fazendo o mmc dentro do parênteses, ficamos com:

F ' t = 2 t t 3 + 1 ⋅ 2 t 3 + 1 - 3 t 4 2 t 3 + 1 ⋅ 1 t 3 + 1

Multiplicando esses termos do numerador:

F ' t = 4 t t 3 + 1 - 3 t 4 2 t 3 + 1 ⋅ 1 t 3 + 1

F ' t = 4 t 4 + 4 t - 3 t 4 2 t 3 + 1 ⋅ 1 t 3 + 1

Agora somando eles: F ' t = t 4 + 4 t 2 t 3 + 1 ⋅ 1 t 3 + 1

Podemos fazer a multiplicação das frações também:

F ' t = t 4 + 4 t 2 t 3 + 1 1 2 + 1

E, por fim

F ' t = t 4 + 4 t 2 t 3 + 1 3 2

Essa é nossa derivada.

Resposta

F ' t = t 4 + 4 t 2 t 3 + 1 3 / 2

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