Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 32
7 – 46 Encontre a derivada da função.
32.
Passo 1
Fala aí, pessoal
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função
E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.
No caso dessa função temos uma divisão entre duas ouras função. Podemos pensar nelas como sendo:
e
Assim,
E para encontrar a derivada de funções desse tipo, podemos usar a regra do quociente. Assim, devemos fazer:
Mas perceba o seguinte, para aplicar a regra do quociente, precisaremos das funções e e de suas derivadas. E quando olhamos para a as funções , percebemos que temos uma função dentro da outra, já que temos um polinômio dentro de uma raiz quadrada. Quando isso acontece temos uma função composta.
E sua derivada será calculada pela regra da cadeia. Sendo:
Ou seja, fazemos a derivada da função de fora e multiplicamos pela derivada da função de dentro.
Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te te mostro tudinho!
Passo 2
Temos a função:
Onde estamos olhando para
e
Assim,
E sua derivada será
Assim, vamos atrás de cada um dos itens para substituir nessa fórmula.
Começando com
Sua derivada é calculada diretamente pela regra do expoente, assim
Passo 3
Perfeito, agora faremos a derivada de
Vamos escrever a raiz em forma de expoente fracionário. Assim
Aqui precisamos usar a regra da cadeia. Assim faremos:
Com
E
Assim,
Então
Que pode ser escrito como:
Ajustando um pouco melhor e voltando para a raiz, teremos:
Perfeito. Agora já temos tudo que precisávamos, basta substituir na regra do quociente.
Passo 4
Sabendo que
E sua derivada será
Onde estamos olhando para
Com
E
com
E sua derivada será
Podemos reescrever a equação assim, para ficar mais fácil de fazer as contas:
Fazendo o mmc dentro do parênteses, ficamos com:
Multiplicando esses termos do numerador:
Agora somando eles:
Podemos fazer a multiplicação das frações também:
E, por fim
Essa é nossa derivada.