Escreva a função composta na forma f(g(x)) . [Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u) .] Então encontre a derivada dy/dx .

y = sen(4x)

Passo 1

Oie, bora fazer essa comigo?

Nesse problema foi dada a função composta:

y = sen ⁡ 4 x

E nosso objetivo é identificar a função de dentro, a função de fora e calcular d y / d x .

Parece complicado?

Para identificar a função de dentro e a função de fora, temos que pensar na seguinte situação...

A função de fora sofre influência da função de dentro, ou seja, se eu mudar a função de dentro (multiplicar ou dividir por uma constante) a função de fora vai sofrer interferência.

Já se eu mudar a função de fora, a função de dentro não vai sofrer nada.

Agora para calcular a derivada de uma função composta, temos que aplicar a regra da cadeia...

d y d x = d y d u · d u d x

Onde u é a função de dentro.

Na prática, calculamos o produto da derivada da função de dentro pela derivada da função de fora (substituindo a função de dentro por uma constante na derivada de fora).

Veja só!

Passo 2

Analisando a função:

y = sen ⁡ 4 x

Vemos que se multiplicarmos 4 x por 2 , por exemplo, a função seno vai sofrer interferência, já se multiplicarmos o seno por 2 nada vai acontecer com 4 x , portanto podemos afirmar que:

u = 4 x

Ou seja, 4 x é a função de dentro e sin ⁡ u é a função de fora.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada de y .

Substituindo 4 x por u na derivada de fora...

d y d x = d sen ⁡ u d u · d 4 x d x

d y d x = cos ⁡ u · 4

Por fim temos que voltar de u para 4 x .

d y d x = 4 cos ⁡ 4 x

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

u = 4 x e y = sen ⁡ u

d y d x = 4 cos ⁡ 4 x

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