Encontre as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 25-28.

g(x, y) = e^x + y * sen x

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de derivadas parciais.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre derivadas parciais de segunda ordem.

A partir do enunciado, fixamos uma das variáveis como constante e derivamos:

∂ g ∂ x = e x + y c o s   x = > ∂ 2 g ∂ x 2 = e x - y s e n   x

Agora fixando a outra variável:

∂ g ∂ y = s e n   x = > ∂ 2 g ∂ y 2 = 0

Além disso fazemos a derivada cruzada, onde fixamos uma variável como constante na primeira derivação, e a outra variável para a segunda derivação, em qualquer ordem:

∂ 2 g ∂ x ∂ y = ∂ 2 g ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y e x + y c o s   x = ∂ ∂ x s e n   x = cos ⁡ x

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

∂ 2 g ∂ x 2 = e x - y s e n   x ;   ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 ;   ∂ 2 g ∂ x ∂ y = ∂ 2 g ∂ y ∂ x = cos ⁡ x

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9. Seja u(x, t) = A * sen(aλt + φ) * sen(λx) , com A , a , lambda e phi constantes. Verifique que∂²u/∂t² = a² * ∂²u/∂x² .
11. Sejam x = x(u, v) e y = y(u, v) duas funções que admitem derivadas parciais num mesmo aberto A . Suponha que (1,1) ∈ e que x(1,1)0 . Suponha, ainda, que para todo (u, v) ∈ A x^3 + y^3 = u - v e xy
10. Seja u = f(x - at) + g(x + at) , onde f e g são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que∂²u / ∂t² = a² * (∂²u / ∂x²) .
12. Seja z = x * y * e^(x/y) . Verifique quex * (∂^3z / ∂x^3) + y * (∂^3z / ∂y ∂x^2) = 0 .