12. Seja z = x \* y \* e^(x/y) . Verifique que

x \* (∂^3z/∂x^3) + y \* (∂^3z/∂y ∂x^2) = 0 .

Passo 1

Primeiro vamos calcular ∂ 3 z ∂ x 3 .

Lembrando que ∂ 3 z ∂ x 3 = ∂ ∂ x   ∂ ∂ x ∂ z ∂ x , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.

Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos e já calcular suas respectivas derivadas.

u = x y   e ∂ u ∂ x = y

v = e x y   e, aplicando a regra da cadeia, ∂ v ∂ x = 1 y e x y .

Ficamos, então, com:

z = u v e, aplicando a regra do produto, ∂ z ∂ x =   ∂ u ∂ x v + u ∂ v ∂ x .

Substituindo:

∂ z ∂ x =   y e x y + x y 1 y e x y

∂ z ∂ x =   y e x y + x e x y .

Vamos chamar a função que encontramos derivando a primeira vez de m , para não nos enrolarmos:

m =   ∂ z ∂ x

m = y e x y + x e x y .

Vamos, agora, aplicar a segunda derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):

  ∂ ∂ x ∂ z ∂ x =   ∂ m ∂ x

  ∂ m ∂ x = y 1 y e x y + e x y + x 1 y e x y

∂ m ∂ x = e x y + e x y + x y e x y

∂ m ∂ x = 2 e x y + x y e x y

∂ ∂ x ∂ z ∂ x = 2 e x y + x y e x y .

Vamos chamar a função que encontramos derivando a segunda vez de n :

n =   ∂ m ∂ x

n =   2 e x y + x y e x y .

Vamos, agora, calcular a terceira derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):

∂ ∂ x ∂ ∂ x ∂ z ∂ x =   ∂ n ∂ x

∂ n ∂ x = 2 1 y e x y + 1 y e x y + x y 1 y e x y

∂ n ∂ x = 3 y e x y + x y 2 e x y

∂ ∂ x ∂ ∂ x ∂ z ∂ x = 3 y e x y + x y 2 e x y

∂ 3 z ∂ x 3 = 3 y e x y + x y 2 e x y .

Passo 2

Agora vamos calcular ∂ 3 z ∂ y ∂ x 2 .

Lembrando que ∂ 3 z ∂ y ∂ x 2 = ∂ ∂ y   ∂ ∂ x ∂ z ∂ x .

Do Passo 1 já temos temos ∂ ∂ x ∂ z ∂ x e podemos caminhar a partir desse resultado.

Chamando a função que encontramos derivando a segunda vez de n :

n =   ∂ m ∂ x

n =   2 e x y + x y e x y .

Dirivando, porém tomando cuidado porque agora a derivada é em y (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto) :  

∂ ∂ y ∂ ∂ x ∂ z ∂ x =   ∂ n ∂ y

∂ n ∂ y = 2 - x y 2 e x y + - x y 2 e x y + x y - x y 2 e x y

∂ n ∂ y = - 3 x y 2 e x y - x 2 y 2 e x y

∂ ∂ y ∂ ∂ x ∂ z ∂ x = - 3 x y 2 e x y - x 2 y 2 e x y

∂ 3 z ∂ y ∂ x 2 = = - 3 x y 2 e x y - x 2 y 2 e x y .

Resposta

Portanto,

x ∂ 3 z ∂ x 3 + y ∂ 3 z ∂ y   ∂ x 2 = 0 .

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