12. Seja z = x y e^((x)/(y)) . Verifique quex (del^3 z)/(del x^3) + y (del^3 z)/(del y del x^2) = 0 .

Portanto,x (del^3 z)/(del x^3) + y (del^3 z)/(del y del x^2) = 0 .

Enunciado

Primeiro vamos calcular .

Lembrando que , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.

Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos e já calcular suas respectivas derivadas.

e, aplicando a regra da cadeia, .

Ficamos, então, com:

e, aplicando a regra do produto, .

Substituindo:

Vamos chamar a função que encontramos derivando a primeira vez de , para não nos enrolarmos:

Vamos, agora, aplicar a segunda derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):

Vamos chamar a função que encontramos derivando a segunda vez de :

Vamos, agora, calcular a terceira derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):

Agora vamos calcular .

Lembrando que

Do Passo 1 já temos temos e podemos caminhar a partir desse resultado.

Chamando a função que encontramos derivando a segunda vez de :

Dirivando, porém tomando cuidado porque agora a derivada é em (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto)

Portanto,