Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 12
12. Seja . Verifique que
.
Passo 1
Primeiro vamos calcular .
Lembrando que , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.
Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos e já calcular suas respectivas derivadas.
e
e, aplicando a regra da cadeia, .
Ficamos, então, com:
e, aplicando a regra do produto, .
Substituindo:
.
Vamos chamar a função que encontramos derivando a primeira vez de , para não nos enrolarmos:
.
Vamos, agora, aplicar a segunda derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):
.
Vamos chamar a função que encontramos derivando a segunda vez de :
.
Vamos, agora, calcular a terceira derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):
Passo 2
Agora vamos calcular .
Lembrando que
Do Passo 1 já temos temos e podemos caminhar a partir desse resultado.
Chamando a função que encontramos derivando a segunda vez de :
.
Dirivando, porém tomando cuidado porque agora a derivada é em (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto)
.
Resposta
Portanto,
.