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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 10

10. Seja u = f x - a t + g ( x + a t ) , onde f e g são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .

Passo 1

Primeiro vamos calcular ∂ 2 u ∂ t 2 .

Lembrando que ∂ 2 u ∂ t 2 =   ∂ ∂ t ( ∂ u ∂ t ) , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.

Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos.

v = x - a t →   ∂ v ∂ t = - a

w = x + a t →   ∂ w ∂ t = a

Ficamos, então com

u = f v + g w

Sabemos que

∂ u ∂ t = ∂ ∂ t f v + ∂ ∂ t g w

Aplicando a regra da cadeia

∂ u ∂ t = ∂ f ∂ v ∂ v ∂ t + ∂ g ∂ w ∂ w ∂ t

Substituindo, ficamos com

∂ u ∂ t = ∂ f ∂ v ( - a ) + ∂ g ∂ w a

∂ u ∂ t = - a ∂ f ∂ v + a ∂ g ∂ w

Calculando a segunda derivada

∂ ∂ t ∂ u ∂ t =   - a ∂ ∂ t ∂ f ∂ v + a ∂ ∂ t ∂ g ∂ w

∂ ∂ t ∂ u ∂ t =   - a ∂ ∂ t ∂ f ∂ v + a ∂ ∂ t ∂ g ∂ w

∂ ∂ t ∂ u ∂ t =   - a ∂ 2 f ∂ v 2 ∂ v ∂ t     + a ∂ 2 f ∂ w 2 ∂ w ∂ t    

∂ ∂ t ∂ u ∂ t =   - a ∂ 2 f ∂ v 2 ( - a )     + a ∂ 2 f ∂ w 2 a    

∂ ∂ t ∂ u ∂ t =   a 2 ∂ 2 f ∂ v 2   + a 2 ∂ 2 f ∂ w 2    

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 f ∂ v 2   + a 2 ∂ 2 f ∂ w 2 .(i)

Passo 2

Agora vamos calcular ∂ 2 u ∂ x 2 .

Lembrando que ∂ 2 u ∂ x 2 =   ∂ ∂ x ( ∂ u ∂ x ) , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.

Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos.

v = x - a t   e   ∂ v ∂ t = 1

w = x + a t   e   ∂ w ∂ t = 1 .

Ficamos, então com

u = f v + g w

Sabemos que

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x f v + ∂ ∂ x g w

Aplicando a regra da cadeia

∂ u ∂ x = ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ g ∂ w ∂ w ∂ x

Substituindo, ficamos com

∂ u ∂ x = ∂ f ∂ v 1 + ∂ g ∂ w 1

∂ u ∂ t = ∂ f ∂ v + ∂ g ∂ w

Calculando a segunda derivada

∂ ∂ x ∂ u ∂ x =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ v + ∂ ∂ x ∂ g ∂ w

∂ ∂ x ∂ u ∂ t =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ v + ∂ ∂ x ∂ g ∂ w

∂ ∂ x ∂ u ∂ x =   ∂ 2 f ∂ v 2 ∂ v ∂ x     + ∂ 2 f ∂ w 2 ∂ w ∂ x    

∂ ∂ x ∂ u ∂ x =   ∂ 2 f ∂ v 2 1     + ∂ 2 f ∂ w 2 1    

∂ ∂ x ∂ u ∂ x =   ∂ 2 f ∂ v 2   + ∂ 2 f ∂ w 2    

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ v 2   + ∂ 2 f ∂ w 2 . (ii)

Resposta

Comparando (i) e (ii), Verificamos

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .

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