10. Seja , onde e são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que
.
Passo 1
Primeiro vamos calcular .
Lembrando que , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.
Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos.
Ficamos, então com
Sabemos que
Aplicando a regra da cadeia
Substituindo, ficamos com
Calculando a segunda derivada
.(i)
Passo 2
Agora vamos calcular .
Lembrando que , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.
Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos.
e
e.
Ficamos, então com
Sabemos que
Aplicando a regra da cadeia
Substituindo, ficamos com
Calculando a segunda derivada
. (ii)
Resposta
Comparando (i) e (ii), Verificamos
.