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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 11

11. Sejam x = x ( u , v ) e y = y u , v duas funções que admitem derivadas parciais num mesmo aberto A . Suponha que (1,1) ∈ e que x 1,1 > 0 . Suponha, ainda, que para todo ( u , v ) ∈ A

x 3 + y 3 = u - v e x y = u - 2 v .

Calcule ∂ x ∂ u 1,1 .

Passo 1

Calculando as derivadas parciais das equações, teremos (derivando implicitamente em relação a u ):

3 x 2 ∂ x ∂ u + 3 y 2 ∂ y ∂ u = 1 e ∂ x ∂ u y + x ∂ y ∂ u = 1

Como queremos ∂ x ∂ u 1,1 , montamos um sistema com as derivadas e encontramos ∂ x ∂ u u , v .

3 x 2 ∂ x ∂ u + 3 y 2 ∂ y ∂ u = 1 ∂ x ∂ u y + x ∂ y ∂ u = 1

Isolando ∂ y ∂ u na segunda equação e substituindo na primeira equação, resolvemos o sistema e ficamos com:

∂ y ∂ u = 1 x - y x ∂ x ∂ u

3 x 2 ∂ x ∂ u + 3 y 2 1 x - y x ∂ x ∂ u = 1

3 x 2 ∂ x ∂ u + 3 y 2 x - 3 y 3 x ∂ x ∂ u = 1

3 x 2 ∂ x ∂ u - 3 y 3 x ∂ x ∂ u = 1 - 3 y 2 x

3 x 3 ∂ x ∂ u - 3 y 3 ∂ x ∂ u = x - 3 y 2

3 x 3 - 3 y 3 ∂ x ∂ u = x - 3 y 2

∂ x ∂ u = x - 3 y 2 3 x 3 - 3 y 3 (i)

Passo 2

Mas não temos os valores de x e y , ainda. Somente os valores de u e v (que são u = 1 e v = 1 ) . Porém, se voltarmos às funções originais e substituirmos os valores de u   e v , ficamos com:

x 3 + y 3 = 1 - 1 = 0 e x y = 1 - 2 =   - 1

Analisando a segunda equação:

x 1,1 y 1,1 = - 1

Como é dado no enunciado que x 1,1 > 0 , então y 1,1 < 0 . E temos que x 1,1 = - 1 y 1,1   .

Analisando a primeira equação

x 1,1 3 + y 1,1 3 = 0

Temos, então, que x 1,1 =   - y 1,1 .

Resolvendo o sistema:

x 1,1 = - 1 y 1,1 x 1,1 =   - y 1,1

x 1,1 = 1 (ii)

y 1,1 = - 1 (iii)

Passo 3

Substitindo (ii) e (iii) em (i), ficamos com

∂ x ∂ u ( 1,1 ) = x 1,1 - 3 y 1,1 2 3 x 1,1 3 - 3 y 1,1 3

∂ x ∂ u 1,1 = 1 - 3 - 1 2 3 1 3 - 3 - 1 3 = - 2 6 = - 1 3

Resposta

∂ x ∂ u 1,1 = - 1 3

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