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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 13

13. Seja z = f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A e seja x 0 , y 0 ∈ A . Suponha que f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) para todo x , y ∈   A . Prove que

∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≤ 0 e ∂ 2 f ∂ y x 0 , y 0 ≤ 0 .

Interprete graficamente.

Passo 1

Vamos provar primeiro que ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≤ 0 .

Quando ele fala que f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) , sabemos que

Lembrando que ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x x 0 , y 0 .

Vamos analisar a primeira derivada:

∂ f ∂ x = f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0  

Se considerarmos x > x 0 , então x - x 0 > 0 .

Olhando para o numerador da fração do limite, podemos observar que f x , y 0 - f x 0 , y 0 ≤ 0   , pois f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) para todo x , y ∈ A .

Como o numerador é negativo e o denominador é positivo, então ∂ f ∂ x é negativo.

Agora analisando a segunda derivada:

∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 = ∂ f ∂ x x , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0  

Como ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ≥ ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ x é negativo,

∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≥ 0

Passo 2

De maneira idêntiva provamos ∂ 2 f ∂ y x 0 , y 0 ≤ 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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