13. Seja z = f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A e seja x 0 , y 0 ∈ A . Suponha que f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) para todo x , y ∈A . Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≤ 0 e ∂ 2 f ∂ y x 0 , y 0 ≤ 0 .Interprete graficamente.

Enunciado

Vamos provar primeiro que

Quando ele fala que , sabemos que

Lembrando que

Vamos analisar a primeira derivada:

Se considerarmos , então

Olhando para o numerador da fração do limite, podemos observar que , pois para todo .

Como o numerador é negativo e o denominador é positivo, então é negativo.

Agora analisando a segunda derivada:

Como e é negativo,

De maneira idêntiva provamos

Ei, a resposta está no passo a passo :)