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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 57

Encontre as dimensões da caixa retangular de máximo volume

que podem ser inscritas dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos as dimensões de uma caixa retangular de máximo volume que pode ser inscrito dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Acompanhe na solução a seguir como podemos chegar ao resultado final.

Passo 2

Sabemos que o volume é dado por:

V ( x , y , z ) = ( 2 x ) ( 2 y ) ( 2 z ) = 8 x y z

Assim, reescrevendo a função x 2 + y 2 + z 2 = 4 , temos:

z = 4 - x 2 - y 2

Substituindo na fórmula do volume, temos que:

V ( x , y ) = 8 x y 4 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0

Passo 3

Agora faremos as derivadas parciais de V ( x , y ) = 8 x y 4 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e igualaremos a zero:

V x ( x , y ) = 32 y - 16 x 2 y - 8 y 3 4 - x 2 - y 2 = 0 V y ( x , y ) = 32 x - 16 x y 2 - 8 x 3 4 - x 2 - y 2 = 0

Veja que os pontos que satisfazem a equação são:

( 0,0 ) , 2 3 , 2 3 , 2 3 , - 2 3 , - 2 3 , 2 3 , - 2 3 , - 2 3

Passo 4

Entretanto, apenas os pontos ( 0,0 ) 2 3 , 2 3 satisfazem a condição x ≥ 0 , y ≥ 0 .Para ( 0,0 )

V ( 0,0 ) = 0

Para 2 3 , 2 3

V 2 3 , 2 3 = 64 3 2

Passo 5

E para a fronteira x = 0 , temos que 0 ≤ y ≤ 2 . O volume é então:

V ( 0 , y ) = 8 ( 0 ) y 4 - 0 2 - y 2 = 0

Não há pontos críticos. Nos extremos, então, temos que: V ( 0,0 ) = 0 , V ( 0,2 ) = 0 .Perceba que, para y = 0 , temos que 0 ≤ x ≤ 2 . O volume é então:

V ( x , 0 ) = 8 x ( 0 ) 4 - x 2 - 0 2 = 0

E não há pontos críticos. Nos extremos, temos que: V ( 0,0 ) = 0 , V ( 0,2 ) = 0 .Para y = 4 - x 2 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 , temos que:

V x , 4 - x 2 = 8 x 4 - x 2 4 - x 2 - 4 - x 2 2 = 0

Então não ocorre pontos críticos. Nos extremos, temos que V ( 0,2 ) = 0 , V ( 2,0 ) = 0 .Concluímos que temos um volume máximo de 64 3 3 se a caixa possuir as medidas:

2 3 × 2 3 × 2 3

Resposta

Resposta nos passos.

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