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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 46

Encontre as dimensões da caixa com volume 1000 cm³ que tem a menor área de superfície.

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem uma questão bem direta, temos uma caixa com o volume de 1000   c m ³ e precisamos encontrar quais as dimensões dessa caixa para que tenhamos a menor área da superfície.

A função de área da superfície é dada por:

S x , y , z = 2 x y + x z + y z

Primeiramente, encontramos a área da superfície em função dos 3 eixos, x , y , z .

Isolamos um deles e montamos a equação.

Calculamos as derivadas parciais e a igualamos a 0 para acharmos o ponto crítico.

Como queremos o volume máximo, devemos verificar se o ponto é de máximo.

Assim, teremos as coordenadas que determinam as dimensões da caixa.

Passo 2

Área da superfície:

S x , y , z = 2 x y + x z + y z

Substituindo:

x y z = 1000

S x , y = 2 x y + 2000 1 x + 1 y

Agora a gente encontra as derivadas parciais:

S x x , y = 2 y - 2000 x 2

E

S y x , y = 2 x - 2000 y 2

Vamos encontrar os pontos críticos zerando essas duas equações:

x 2 y = 1000

E

x y 2 = 1000

Como queremos lados positivos, teremos:

x = y = 10

E

z = 1000 x y

z = 10

Então nossa área de superfície é:

600 cm²

Resposta

600 cm²

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