Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 37
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de no conjunto .
,
Passo 1
Oie, vamos de resolução hoje.
Aqui a gente tem a função:
Neste exercício, precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função dentro de um conjunto :
Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um conjunto fechado e limitado :
1. Determine os valores de nos pontos críticos de em .
2. Determine os valores extremos de na fronteira de .
3. O maior dos valores dos passos e é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto
Passo 2
Beleza, a gente pega as derivadas parciais, em função e em função de :
Derivando em relação a :
Agora a gente deriva em relação a :
Igualando os dois a para encontrarmos os pontos criticos:
Temos que o único ponto critico é .
E
Passo 3
Nossa fronteira é:
Então a gente pode substituir na nossa função:
A derivada dela fica:
Igualamos a :
E encontramos:
Mas nessa caso podemos ignorar o porque o resultado da nossa derivada deve estár no intervalo de
Que é o domínio de:
Passo 4
Então vamos calcular o valor da nossa função nesses pontos criticos, temos como pontos criticos:
E:
Então aplicado os valores de na fronteira do intervalo na função temos:
E:
Como esses são os valores maiores e menores que conseguimos, são eles os pontos de maximo e de minimo.
Resposta
Minimo:
Máximo: