Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 75
Mostre o que acontece se você tenta usar a regra de L’Hospital para calcular
Calcule o limite usando outro método.
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema foi dito que aplicar a regra de L’Hopital no limite
É inútil.
E nosso objetivo é mostrar que isso é verdade e também temos que calcular esse limite usando outro método...
Parece complicado?
A regra de L’Hopital é usada quando temos uma indeterminação ou em um limite.
Para contornar esse problema, aplicamos L’Hopital derivando o numerador e o denominador separadamente
Mas lembre-se que só podemos fazer isso quando temos uma indeterminação...
Bora começar!
Passo 2
No nosso limite, quando tende a , tanto quanto tendem a , então caímos em uma indeterminação
Então podemos aplicar L’Hopital!
Derivando o numerador e o denominador temos que:
Para o denominador usamos a regra da cadeia:
Substituindo no limite...
Ora, obtivemos um novo limite que segue com uma indeterminação do tipo :
Vamos aplicar a regra mais uma vez:
Você deve achar que eu estou te zuando, mas não estou: voltamos para o mesmo limite que queríamos calcular!!! A tão amada regra de L’Hospital nos fez ficar andando em círculos...
Isso pode acontecer as vezes e fica uma lição nisso tudo: a regrade L’Hospital é maravilhosa e salva nossa pele em muitas situações, porém em alguns casos, mesmo que ela seja aplicável, ela não é capaz de resolver nosso problema, muitas vezes podendo até complicar bastante ele...
E agora como vamos resolver esse limite??
Passo 3
Não deu certo usar a regra, então vamos usar a boa velha fatoração para limites infinitos:
Vamos colocar em evidencia dentro da raiz...
Como , . Assim, tirando da raiz e simplificando com o numerrador, temos
Perceba que quando , o termo tende a , ou seja
Logo
E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!