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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 56

Encontre a distância mínima entre o cone z = 2x2 + y 2 e o

ponto (– 6, 4, 0).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolvermos este exercício, precisamos encontrar a distância mínima do cone z = x 2 + y 2 ao ponto ( - 6,4 , 0 ) . Vamos lá?

Passo 2

Seja d = ( x , y , z ) = ( x + 6 ) 2 + ( y - 4 ) 2 + ( z - 0 ) 2 a distância até o ponto em questão.Podemos então minimizar d ( x , y , z ) , minimizando a função D ( x , y , z ) = ( x + 6 ) 2 + ( y - 4 ) 2 + z 2 .

Passo 3

Agora, substituindo a função z = x 2 + y 2 em D ( x , y , z ) = ( x + 6 ) 2 + ( y - 4 ) 2 + z 2 , temos:

D ( x , y ) = ( x + 6 ) 2 + ( y - 4 ) 2 + x 2 + y 2 D ( x , y ) = 2 x 2 + 2 y 2 + 12 x - 8 y + 52

Encontrando suas derivadas parciais e igualando a zero, temos:

D x ( x , y ) = 4 x + 12 = 0 D y ( x , y ) = 4 y - 8 = 0

Resolvendo a equação, encontramos o ponto crítico ( - 3,2 ) . O valor z para esse ponto é z = 12 .

Observe que, para sabermos de que tipo de ponto crítico se trata, temos que as segundas derivadas são:

D x x ( - 3,2 ) = 4 D y y ( - 3,2 ) = 4 D x y ( - 3,2 ) = 0

Assim, temos que:

D x x D y y - D x y 2 = 16 > 0 D x x > 0

Temos então um local minimo.Concluímos que temos um local mínimo com valor d ( - 3,2 , 13 ) = 26 .

Resposta

Resposta nos passos.

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