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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 23

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela

nas funções dos Exercícios 1-30

f ( x , y ) = y s e n ⁡ x

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício devemos encontrar os pontos de máximo, mínimo e pontos de sela para a equação:

f ( x , y ) = y × s e n ⁡ x

Passo 2

extremos ocorrem apenas quando:

f x = 0  ou  f y = 0

Portanto:

f x ( x , y ) = y × c o s ⁡ x = 0  e  f y ( x , y ) = s e n ⁡ x = 0

Passo 3

Como s e n ⁡ x = 0 então x = a c s e n ⁡ ( 0 ) Assim x = n π

Passo 4

Agora vamos substituir x na equação y × c o s ⁡ x = 0 , assim

y × c o s ⁡ x = 0 y × c o s ⁡ π = 0 y = 0

Passo 5

Portanto os pontos ( n π , 0 ) , são os pontos onde a função f pode assumir um valor extremo. Observe que o senx e o cosx não podem ser igual a 0 para o mesmo x , então o senx tem que ser igual a 0 para que y seja igual a 0 .

Passo 6

Para avaliar se o ponto ( n π , 0 ) realmente assume um valor extremo calcula-se as segundas derivadas parciais como se segue:

f ( x , y ) = y × s e n ⁡ x f x ( x , y ) = y × c o s ⁡ x f x x ( x , y ) = - y s e n ⁡ x f x x ( n π , 0 ) = - ( 0 ) × s e n ⁡ ( n π ) f x x ( 0,0 ) = 0 f ( x , y ) = y × s e n ⁡ x f y ( x , y ) = s e n ⁡ x f y y ( x , y ) = 0 f y y ( n π , 0 ) = 0 f ( x , y ) = y × s e n ⁡ x f x ( x , y ) = y × c o s ⁡ x f x y ( x , y ) = c o s ⁡ x f x y f x y ( n π , 0 ) = 1

Passo 7

Observe que o discriminante de f no ponto ( a , b ) = ( n π , 0 ) é:

f x x f y y - f x y 2 = ( 0 ) × ( 0 ) - ( 1 ) 2 f x x f y y - f x y 2 = - 1

Passo 8

Por fim como f x x f y y - f x y 2 < 0 , segundo o teorema 11, o ponto ( n π , 0 ) é um ponto de sela.

Resposta

Resposta nos passos.

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