Encontre três números cuja soma seja 9 e cuja soma de quadrados seja um mínimo.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Como podemos encontrar três números cuja soma vale 9 e a soma dos quadrados é o mínimo? Fique atento e acompanhe a solução para descobrir!

Passo 2

Seja a função S ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , de forma que x + y + z = 9 .Reescrevendo a função x + y + z = 9 , temos:

z = 9 - x - y

Agora, substituindo na primeira equação, chegamos a:

S ( x , y ) = x 2 + y 2 + ( 9 - x - y ) 2

Faremos suas derivadas parciais e igualaremos a zero:

S x ( x , y ) = 2 x - 2 ( 9 - x - y ) = 0 S y ( x , y ) = 2 y - 2 ( 9 - x - y ) = 0

Encontramos, então, o ponto crítico ( 3,3 ) como solução desse sistema. Substituindo o valor ( 3,3 ) em x + y + z = 9 , encontramos que z = 3 .

Passo 3

Veja que, para identificarmos qual o tipo de ponto crítico temos, calcularemos os valores das segundas derivadas para o ponto ( 3,3 ) :

S x x ( 3,3 ) = 4 S y y ( 3,3 ) = 4 S x y ( 3,3 ) = 2

Temos então que:

S x x S y y - S x y 2 = 12 > 0 S x x > 0

Trata-se então de local mínimo.

Passo 4

Assim, temos um local mínimo e seu valor no ponto é s ( 3,3 , 3 ) = 27 .

Resposta

Resposta nos passos.

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