Encontre o valor máximo de s = xy + yz + xz onde x + y + z = 6.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos encontrar o valor máximo de s = x y + y z + x z onde x + y + z = 6 ? Então acompanhe a solução a seguir!

Passo 2

Seja s ( x , y , z ) = x y + y z + x z , tal que x + y + z = 6 . Reescrevendo a função x + y + z = 6 , temos:

z = 6 - x - y

Agora, substituindo em s ( x , y , z ) = x y + y z + x z , teremos:

s ( x , y ) = x y + y ( 6 - x - y ) + x ( 6 - x - y ) s ( x , y ) = 6 x + 6 y - x y - x 2 - y 2

E fazendo as derivadas parciais e igualando a zero, temos:

s x ( x , y ) = 6 - 2 x - y = 0 s y ( x , y ) = 6 - x - 2 y = 0

Observamos que o ponto crítico ( 2,2 ) é a solução do sistema. Substituindo em x + y + z = 6 , encontramos que z = 2 .Veja que, para sabermos qual o tipo de ponto crítico temos, calcularemos as segundas derivadas parciais:

s x x ( 2,2 ) = - 2 s y y ( 2,2 ) = - 2 s x y ( 2,2 ) = - 1

Assim:

S x x S y y - S x y 2 = 3 > 0 S x x < 0

Temos um local máximo.Podemos concluir que o ponto ( 2,2 , 2 ) é o ponto de valor máximo. O valor é s ( 2,2 , 2 ) = 12 .

Resposta

Resposta nos passos.

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