Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 31
Encontre o domínio da função:
Passo 1
Opa! Temos que descobrir o domínio da seguinte função:
Então vamos lembrar que o domónio são os valores que pode assumir pra que a função exista.
Para resolver essa aqui, temos que saber em que condições não existe. A gente verifica isso olhando pra expressão e vendo o que não pode acontecer de jeito nenhum na nossa função e, com base nisso, concluímos duas coisas:
- não pode ser zero, ou iríamos ter uma divisão por zero, o que é algo que não existe;
- tem que ser maior ou igual a zero. Isso é porque, se a raíz for par, só dá pra achar a raíz se o número for maior ou igual a zero (se ele for negativo, não existe uma raíz real!).
Passo 2
Vamos trabalhar com cada uma das condições que encontramos. Começando pela primeira, podemos escrevê-la como:
Podemos elevar os dois lado à quarta potência, resultando em:
Fatorando :
Para essa expressão ser verdadeira, teremos que ter ou . Ajeitando essa ultima expressão, teremos que que, no final das contas
e
Passo 3
Agora teremos que trabalhar com a outra condição, que é:
Iremos fatorar o , igual fizemos ainda agora:
A análise dessa condição é um pouco mais complicada, mas não vamos desistir!
A gente já viu no passo anterior que os valores que zeram essa expressão são e . Agora, com essas informações, vamos dividir todos os números reais em três intervalos: , e . A gente sempre divide os intervalos com base nas raízes do polinômio que achamos, beleza? E agora vamos usar uma tabela pra entender o comportamento em cada um deles.
No intervalo ou , o será obviamente negativo. O termo também vai ser negativo. E o produto de negativo com negativo fica positivo:
No intervalo ou , o será positivo, vai ser negativo e o seu produto de negativo:
No intervalo ou , tanto o quanto o serão positivos. Portanto, o seu produto vai ser positivo:
Finalmente, como queremos que a nossa expressão seja positiva, os intervalos que nos atendem são o primeiro e o terceiro:
e
Passo 4
Ta quase acabando! Para a nossa condição primeira condição, temos que:
e
Para a nossa segunda condição, temos que:
e
Para descobrirmos o domínio da nossa função, temos que respeitar todas essas condições que encontramos. A primeira diz que nosso não pode ser nem e nem . Se tirarmos esses dois números da nossa segunda condição, teremos:
e
Na notação de conjunto (pois o domínio é um conjunto), vamos escrever:
Em que é a união de 2 conjuntos. Significa que o domínio compreende todos os valores reais menores que 0 e maiores que 5.