Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

45. Hipérbole, vértices (-3, -4), (-3,6) focos (-3, -7) e (-3,9)

Passo 1

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1  

ou

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

Dependendo qual seu eixo.

Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do vértice, que mudam apenas em x , então a equação é do tipo

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Passo 2

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos:

V 1 = - 3 , - 4   ;   V 2 = ( - 3,6 )

Nosso centro será:

- 3 ,   6 -   - 4 - 6 2 = - 3 ,   6 - 5 = ( - 3,1 )

Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( - 3,1 ) .

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em X são:

f = ( x 0 , y 0 ± c )

Então :

1 + c = 9

c = 8

Os vértices são:

V = ( x 0 , y 0 ± a )

Então sabemos que:

1 + a = 6

a = 5

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

64 = 25 + b 2

b 2 = 39

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

y - 1 2 25 - x + 3 2 39 = 1

Abaixo iremos plotar o gráfico da nossa hipérbole com seus pontos importantes:

Resposta

y - 1 2 25 - x + 3 2 39 = 1

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