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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 2

Determine o jacobiano da transformação.

x = u v , y = (u)/(v)

Passo 1

Vamos lá, temos que o jacobiano é da seguinte forma:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]|

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que (del x)/(del u) é a derivada de x em função de u :

(del x)/(del u) = (del)/(del u) (u v) = v

E (del x)/(del v) é a derivada de x em função de v :

(del x)/(del v) = (del)/(del v) (u v) = u

Temos que (del y)/(del u) é a derivada de y em função de u :

(del y)/(del u) = (del)/(del u) ((u)/(v)) = (1)/(v)

E por ultimo (del y)/(del v) é a derivada de y em função de v :

(del y)/(del v) = (del)/(del v) ((u)/(v)) = - (u)/(v^2)

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[v,u],[(1)/(v),-,(u)/(v^2)]]| = v . (- (u)/(v^2)) - u . (1)/(v) = - (u)/(v) - (u)/(v) = - (2 u)/(v)

Resposta

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[v,u],[(1)/(v),-,(u)/(v^2)]]| = - (2 u)/(v)

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