Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 1
A figura mostra o gráfico de uma função Suponha que o método de Newton seja usado para aproximar a raiz s da equação com aproximação inicial
a) Desenhe as linhas tangentes usadas para encontrar , e estime os valores numéricos.
b) Seria uma melhor aproximação inicial? Explique.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão dá pra gente o gráfico de uma função , dado por:
Teremos que supor que seja usado o método de Newton para aproximar a raiz da equação
com
como aproximação inicial.
O que teremos que fazer aqui é:
No item (a), desenhar as tangentes que são usadas para encontrar e , e estime os valores numéricos de e .
Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta tangente à curva da função no ponto .
Depois devemos procurar a interseção de como o eixo , que será chamada de e verificar o quão próximo está da interseção da curva com o eixo .
Para encontrar , podemos fazer:
Depois, repetimos o processo, usando como uma segunda aproximação, fazendo:
E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo
E se ficar cada vez mais próxima da raiz de nossa curva à medida que cresce, fizemos que a sequência converge para .
Assim:
Perfeito.
E no item (b), precisamos dizer se uma melhor aproxima�o seria . Devemos explique nossa resposta.
Então, vamos nessa.
Passo 2
Bom pessoal, o método de Newton é dado por:
Porém, neste exercício, iremos usar este método aplicado direto no gráfico. É bom que nos ajuda a entender o que este método representa.
(a) Pelo gráfico dado, devemos traçar uma tangente quando , isto é, no sexto quadrado. Onde a reta tocar no eixo x será nosso .
Pelo gráfico acima, podemos estimar que
A partir de traçamos uma vertical para encontrar o ponto da curva que representa . A partir deste ponto, traçamos uma nova tangente, assim como o feito no passo anterior.
Pelo gráfico, podemos estimar que a tangente cruza o eixo x em
Passo 3
(b) Devemos fazer a mesma coisa feita na letra (a), mas iniciando em
Pelo gráfico acima, podemos estimar que
A partir de traçamos uma vertical para encontrar o ponto da curva que representa . A partir deste ponto, traçamos uma nova tangente, assim como o feito no passo anterior.
Pelo gráfico, podemos estimar que a tangente cruza o eixo x em
Como está mais próxima da raiz s, então a aproximação é mais precisa.
Resposta
a)
b)
Como está mais próxima da raiz s, então a aproximação é mais precisa.