Encontre uma equação de plano para um plano que contenha os pontos (2,1, 2) , (3, -8,6) e (-2, -3,1) .

Passo 1

Bom galera, a gente tem os pontos:

P = ( 2,1 , 2 )

Q = ( 3 , - 8,6 )

R = ( - 2 , - 3,1 )

Com isso a gente pode encontrar dois vetores:

P Q = Q - P

( 3 , - 8,6 ) - ( 2,1 , 2 ) = ( 1 , - 9,4 )

E:

P R = R - P

( - 2 , - 3,1 ) - ( 2,1 , 2 ) = ( - 4 , - 4 , - 1 )

Passo 2

Pois agora, a gente encontra um vetor ortogonal aos dois que a gente assim, para isso a gente pega o produto vetorial dos dois:

v → = P Q × P R = det ⁡ i → j → k → 1 - 9 4 - 4 - 4 - 1

v → = 25 i → - 15 j → - 40 k →

Passo 3

Beleza, e a equação do plano por definição é:

v → x x - x o + v → y y - y o + v → z z - z o = 0

Se você quiser saber mais sobre essa fórmula e como ela funciona dá uma olhada nas vídeo aulas aqui mesmo do Responde Aí!

Passo 4

Show de bola, agora que a gente só aplica o que a gente tem na equação:

v → x x - x P + v → y y - y P + v → z z - z P = 0

25 x - ( 2 ) + - 15 y - 1 + - 40 z - ( 2 ) = 0

→ 25 x - 50 + - 15 y + 15 + ( - 40 z + 80 ) = 0

→ 25 x - 15 y - 40 z + 4 5 = 0

→ 25 x - 15 y - 40 z = - 4 5

Resposta

25 x - 15 y - 40 z = - 4 5

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