Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x     ,     π 6 , 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a equação da reta tangente à curva:

y = sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x

No ponto π 6 , 1 .

Para isso, precisamos saber que a equação da reta tangente é do formato:

y - y ₀ = m x - x ₀

O valor m é a inclinação da reta, e é achado calculando a primeira derivada da função e aplicando o valor do ponto pedido.

E x 0 , y 0 é o ponto inicial (dado no enunciado).

Vamos então fazer isso aos poucos, certinho? 😉

Passo 2

Vamos agora derivar, usando a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

F ' x = f ' g x . g ' x

Também vamos aplicar a regra da multiplicação por constante e da função trigonométrica para seno e cosseno:

k f x ' = k f ' ( x )

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Assim, aplicando essas regrinhas, temos:

y ' = sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x ' ∴

y ' = cos ⁡ x + - sen ⁡ 2 x . 2 x ' ∴

y ' = cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x . 2 x 1 - 1 ∴

y ' = cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x . 2 x 0 ∴

y ' = cos ⁡ x - 2 sen ⁡ 2 x

Passo 3

Vamos agora aplicar no ponto π 6 , 1 para encontrar m :

f ' π 6 = cos ⁡ π 6 - 2 sen ⁡ 2 . π 6 ∴

f ' π 6 = 3 2 - 2 sen �� π 3 ∴

f ' π 6 = 3 2 - 2 . 3 2 ∴

f ' π 6 = - 3 2 = m

Passo 4

Agora é só substituir na fórmula da equação da reta, utilizando o ponto dado:

y - 1 = - 3 2 x - π 6 ∴

y = - 3 x 2 + 3 π 12 + 1 ∴

y = - 3 x 2 + 3 π + 12 12

Resposta

y = - 3 x 2 + 3 π + 12 12

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