Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 13
Encontre e . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.
Aqui a gente precisa derivar duas vezes:
E
Para isso, a gente precisa utilizar a regra da cadeia, já que a gente está com funções parametrizadas.
Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia. Para calcular a derivada vamos precisar de uma sagacidade agora. (o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )
Ou podemos escrever como
Se queremos a primeira derivada de , então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:
É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando : ). Vamos calcular primeiro a primeira derivada.
Depois disso, a gente vai precisar responder para quais valores de a curva será concava para cima.
Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva
Passo 2
Temos então:
Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro
Vamos só lembrar que
Já para a derivada exponencial:
A gente tem também uma composição de função aqui, em , então a gente vai relembrar da regra da cadeia de novo:
E como temos um produto de funções, deveremos utilizar a regra do produto:
Show! Então como fica nossa derivada?
Esse valor está certo, vamos só deixar de um jeito mais prático para derivar mais uma vez.
Agora sim, está bem mais fácil manipular.
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada segunda
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando os termos semelhantes e lembrando que
Colocando o termo semelhantes em evidência:
Passo 4
Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva
Logo
Como a função exponencial é sempre positiva precisamos nos preocupar apenas com a parte
Vamos solucionar isso :
Belezinha. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução. : )