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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 11

Encontre d y / d x e d ² y / d x ² . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t 2 + 1

y = t 2 + t  

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Precisamos encontrar:

d y d x

E

d 2 y d x 2

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia, já que temos curvas parametrizadas, que nada mais são que funções compostas. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. (o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x ⋅ d t d t   → d y d t ⋅ d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Vou ajustar um pouquinho pra deixar uma coisa evidente

d d x y = d y d t d ( x ) d t

Se queremos a primeira derivada de y , então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando :).

Para que nossa concavidade seja para cima a segunda derivada precisa ser positiva

d y 2 d x 2 > 0

Vamos calcular primeiro a primeira derivada. Depois vamos para a segunda derivada.

Passo 2

x = t 2 + 1

y = t 2 + t  

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t 2 + t   d d t t 2 + 1

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

d y d x = 2 t + 1   2 t

Esse valor está certo, vamos só deixar de um jeito mas pratico para derivar mais uma vez.

d y d x = 1 + 2 t - 1

Agora sim, está bem mais fácil manipular.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

d d x d y d x = d d t 1 + 2 t - 1 d d t t 2 + 1

d d x d y d x =   - 1 ⋅ 2 ⋅ 2 t - 2 2 t  

d d x d y d x =   - 1 4 t ³  

Para que nossa concavidade seja para cima a segunda derivada precisa ser positiva

d y 2 d x 2 > 0

Logo

- 1 4 t 3 > 0

Logo quando a segunda derivada for positiva a curva tem concavidade para cima para t < 0 .

Logo quando a segunda derivada for negativa a curva tem concavidade para cima para t > 0 .

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t < 0

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