Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 12

Encontre d y / d x e d ² y / d x ² . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t 3 + 1

y = t 2 - t  

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver mais uma atividade.

A gente tem a curva parametrizada:

x = t 3 + 1

y = t 2 - t  

E precisamos encontrar:

d y d x

E

d 2 y d x 2

Isso é, precisamos da primeira e da segunda derivada de y em relação a x , mas essa equação é parametrizada em relação a y , como iremos resolver?

Teremos que aplicar a regra da cadeia aqui para conseguirmos o que queremos. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora.

d y d x = d y d x ∙ d t d t   → d y d t ∙ d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Vou ajustar um pouquinho pra deixar uma coisa evidente

d y d x = d y d t d ( x ) d t

Se queremos a primeira derivada de y , então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando :)

Vamos calcular primeiro a primeira derivada.

Já para que nossa concavidade seja para cima a segunda derivada precisa ser positiva .

Passo 2

Então temos:

x = t 3 + 1

y = t 2 - t

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro:

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t 2 - t   d d t t 3 + 1

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

d y d x = 2 t - 1 3 t 2

Esse valor está certo, vamos só deixar de um jeito, mas prático para derivar mais uma vez.

d y d x = 2 3 t - 1 - 1 3 t - 2

Agora sim, está bem mais fácil manipular.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Colocando a primeira derivada que descobrimos:

d d x d y d x = d d t 2 3 t - 1 - 1 3 t - 2 d d t t 3 + 1

Derivando novamente:

d d x d y d x = - 2 3 t - 2 + 2 3 t - 3 3 t ²  

Dividindo o numerador pelo denominador:

d d x d y d x = 2 9 - t - 4 + t - 5

Para que nossa concavidade seja para cima a segunda derivada precisa ser positiva

d y 2 d x 2 > 0

Logo

- t - 4 + t - 5 > 0

Colocando em lados opostos na desigualdade:

t - 5   > t - 4

Multiplicando ambos os lados por t 5 :

t 5 ∙ t - 5   > t 5 ∙ t - 4

1 > t

Logo t   tem que ser menor que 1 . Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

1 > t

d d x d y d x = 2 9 - t - 4 + t - 5

d y d x = 2 3 t - 1 - 1 3 t - 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se uma elipse e uma hipérbole tiverem os mesmos focos, então suas retas tangentes em cada ponto de intersecção são perpendiculares.
Mostre que as retas tangentes à parábola x 2 = 4 p y desenhadas a partir de um ponto qualquer na diretriz são perpendiculares.
A curvatura no ponto P da curva é definida como k = d ϕ d s Onde ϕ é o ângulo de inclinação da reta tangente em P , como mostrado na figura. Então, a curvatura é o valor absoluto da taxa de variação d
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes14. r = 3 - 3 c o s θ
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes13. r = 1 - s e n θ