Encontre d y / d x e d ² y / d x ² ² ². Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t - ln ⁡ t y = t + ln ⁡ t

t0, t ≠ 1 d d x d y d x =- t ( t - 1 ) ³ ³ d y d x = t + 1 t - 1

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 15

Encontre e . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.

Aqui a gente precisa derivar duas vezes:

Para isso, a gente precisa utilizar a regra da cadeia, já que a gente está com funções parametrizadas.

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia. Para calcular a derivada vamos precisar de uma sagacidade agora. (o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

Ou podemos escrever como

Se queremos a primeira derivada de , então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:

É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando : ). Vamos calcular primeiro a primeira derivada.

Depois disso, a gente vai precisar responder para quais valores de a curva será concava para cima.

Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva

Passo 2

A gente tem então:

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

Vamos só lembrar que

E também:

Show! Então como fica nossa derivada?

Esse valor está certo, vamos só deixar de um jeito mais prático para derivar mais uma vez.

Agora sim, está bem mais fácil manipular.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda

Aqui a gente vai precisar aplicar a regra do quociente para derivar o numerador:

Realizando as simplificações no numerador do numerador:

Reorganizando a fração:

Passo 4

Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva

Logo

A gente iverte o sinal da desigualdade:

Aqui só temos que ter cuidado com o denominador ele tem que ser diferente de zero

Tendo isso em mente, nossa resposta se da quando

Belezinha. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução. : )

Resposta

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