Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 15
Encontre e . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.
Aqui a gente precisa derivar duas vezes:
E
Para isso, a gente precisa utilizar a regra da cadeia, já que a gente está com funções parametrizadas.
Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia. Para calcular a derivada vamos precisar de uma sagacidade agora. (o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )
Ou podemos escrever como
Se queremos a primeira derivada de , então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:
É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando : ). Vamos calcular primeiro a primeira derivada.
Depois disso, a gente vai precisar responder para quais valores de a curva será concava para cima.
Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva
Passo 2
A gente tem então:
Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro
Vamos só lembrar que
E também:
Show! Então como fica nossa derivada?
Esse valor está certo, vamos só deixar de um jeito mais prático para derivar mais uma vez.
Agora sim, está bem mais fácil manipular.
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada segunda
Aqui a gente vai precisar aplicar a regra do quociente para derivar o numerador:
Realizando as simplificações no numerador do numerador:
Reorganizando a fração:
Passo 4
Para que nossa concavidade seja para cima a sefunda derivada precisa ser positiva
Logo
A gente iverte o sinal da desigualdade:
Aqui só temos que ter cuidado com o denominador ele tem que ser diferente de zero
Tendo isso em mente, nossa resposta se da quando
Belezinha. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução. : )