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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 14

Encontre d y / d x e d ² y / d x ² . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t 2 + 1

y = e t - 1  

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver mais uma atividade.

A gente tem a curva parametrizada:

x = t 2 + 1

y = e t - 1  

E precisamos encontrar:

d y d x

E

d 2 y d x 2

Isso é, precisamos da primeira e da segunda derivada de y em relação a x , mas essa equação é parametrizada em relação a y , como iremos resolver?

Teremos que aplicar a regra da cadeia aqui para conseguirmos o que queremos. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora.

d y d x = d y d x ∙ d t d t   → d y d t ∙ d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Vou ajustar um pouquinho pra deixar uma coisa evidente

d d x y = d d t y d d t ( x )

Se queremos a primeira derivada de y , então usamos essa formulinha. Agora, para a derivada segunda podemos fazer o seguinte:

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

É o mesmo conceito, só precisamos mudar um pouco a equação que estamos derivando :)

Vamos calcular primeiro a primeira derivada.

Já para que nossa concavidade seja para cima a segunda derivada precisa ser positiva .

Passo 2

Então temos:

x = t 2 + 1

y = e t - 1    

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro:

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t e t - 1 d d t t 2 + 1

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

d y d x = e t 2 t

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda

d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Substituindo a derivada que encontramos no passo anterior:

d d x d y d x = d d t e t 2 t d d t t 2 + 1

Derivando utilizando a regra do quociente:

d d x u v = v ∙ d u d x - u ∙ d u d x v 2

d d x d y d x = e t ∙ 2 t - 2 e t 4 t ² 2 t  

Reorganizando a divisão de frações:

d d x d y d x = 2 e t t - 1 8 t 3

Para que nossa concavidade seja para cima a segunda derivada precisa ser positiva

d y 2 d x 2 > 0

Logo

2 e t t - 1 8 t 3 > 0

A função exponencial é sempre positiva. Alem disso nosso denominador tem que ser dirente de zero , então :

t ≠ 0

Assim nos resta dizer que:

t - 1 > 0

t > 1

Logo t   tem que ser maiorque 1 . Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t > 1   ,     t ≠ 0

d y d x = e t 2 t

d d x d y d x = 2 e t t - 1 8 t 3

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