Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 38
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de . Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é e a altura é ?
Passo 1
Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais com regra da cadeia, vamos lá!
Antes de tudo a questão da um contexto bonitinho para que a gente monte a equação do volume do cone, então vamos lá!
A fórmula do volume do cone é
Ou ainda, reescrevendo para o nosso contexto
Além disso, a questão diz que
Ou ainda, que o raio () e a altura () dependem do tempo () e são dados por
Ora, então no final das contas temos que o volume é uma função do tipo
E além disso, a questão pede que encontremos a taxa de variação do volume quando
Ou seja, queremos encontrar
E podemos encontrar isso com a regra da cadeia!
Passo 2
Para esse caso, pela regra da cadeia de funções com mais de uma variável, vai ser dado pela seguinte fórmula:
De forma que, para montar essa equação precisamos encontrar as derivadas parciais e (as derivadas e são as taxas que o enunciado nos deu) então vamos lá!
Para encontrar nós consideramos como constante e derivamos em
Para encontrar nós consideramos como constante e derivamos em
De forma que, substituindo de volta na equação, temos
Substituindo as taxas que o enunciado deu
E, por fim, substituindo o ponto em que desejamos encontrar a taxa de variação do volume, temos