Enunciado

Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas.

r 2 θ = 1

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de coordenadas polares, vamos lá!

A questão nos dá a função

r 2 θ = 1

E pede para modelarmos dois gráficos: O gráfico em coordenadas cartesianas e o gráfico em coordenadas polares!

Para o gráfico em coordenadas cartesianas podemos imaginar como se a função fosse

y 2 x = 1

Dessa forma, para modelar ambos os gráficos a gente pode atribuir valores para θ (ou x ) até modelar o formato geral da função!

Passo 2

Seja a função

y 2 x = 1

Ou ainda

y = 1 / x

Se quisermos modelar o gráfico em coordenadas cartesianas dessa função, primeiramente precisamos observar que ela não está definida (pelo menos no conjunto dos números reais) para

x ≤ 0

Afinal, em x = 0 teríamos uma indeterminação e para x < 0 teríamos y sendo um número imaginário!

Dessa forma, se atribuirmos valores para x nós desenhamos o seguinte gráfico

Onde a gente observa que, conforme x se aproxima de 0 , y tende ao infinito! E além disso, conforme x se aproxima do infinito positivo, y tende a 0 !

Passo 3

Agora queremos esboçar

r 2 θ = 1

Ou ainda

r = 1 / θ

Lembrando: Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o θ o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Bem similar ao caso anterior, observamos que a função só está definida para

θ > 0

Pois para θ = 0 temos uma indeterminação, e para θ < 0 temos r imaginário!

Agora vamos analisar essa curva:

Para o intervalo 0 < θ < 1 , o valor de r começa em um número absurdamente grande (próximo do infinito) e conforme θ se aproxima de 1 , r diminui;

Em θ = 1 o valor de r é 1;

E, por fim, conforme θ continua aumentando, o r diminui!

Então se a gente for atribuindo valores para θ no intervalo θ ∈ ( 0,2 π ] nós conseguimos desenhar o seguinte gráfico

E se continuarmos atribuindo valores para θ , conforme θ aumenta a espiral continua (e r continua diminuindo), de forma que

Resposta

Gráfico de r 2 θ = 1 em coordenadas cartesianas

Gráfico de r 2 θ = 1 em coordenadas polares

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