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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 20

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

y 4 - 5 y ' ' + 4 y = g ( t ) ;

y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0   e   y ' ' ' 0 = 0

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

y 4 - 5 y ' ' + 4 y = g ( t )

L y 4 - 5 y ' ' + 4 y = L g ( t )

L y ( 4 ) - 5 L y ' ' + 4 L y = L g ( t )

Vamos chamar L y t = Y ( s ) e L g ( t ) = G ( s ) . Então:

s 4 Y s - s 3 y 0 - s 2 y ' 0 - s y ' ' 0 - y ' ' ' 0 - 5 s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 4 Y ( s ) = G ( s )

s 4 - 5 s 2 + 4 Y s - s 3 y 0 - s 2 y ' 0 - s y ' ' 0 - y ' ' ' 0 + 5 s y 0 + 5 y ' ( 0 ) = G ( s )

s 4 - 5 s 2 + 4 Y s = G ( s )

Y s = G s s 4 - 5 s 2 + 4

Passo 2

Antes de continuar vamos relembrar o teorema da convolução. O teorema sobre a convolução diz que: se F s = L f t e G s = L g t existem e Y s = L y t = F s x G ( s ) , a função y ( t ) pode ser descrita como:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Vamos começar chamando:

F s = 1 s 4 - 5 s 2 + 4

Então:

Y s = F s G ( s )

Antes de resolver vamos dividir a função F ( s ) em H ( s ) e J ( s ) :

F s = 1 s 4 - 5 s 2 + 4

F s = 1 s 2 - 4 x 1 s 2 - 1

F s = H s J ( s )

H s = 1 2 x 2 s 2 - 4   e   J s = 1 s 2 - 1

Vamos aplicar a transformada inversa em H ( s ) e J ( s ) para encontrar as funções h ( t ) e j ( t ) . Pela tabela 6.2.1 do livro:

H s = c a s 2 - a 2 → h t = c sen h ⁡ a t

J s = a s 2 - a 2 → j t = senh ⁡ a t

Passo 3

Para os dados do nosso exercício:

H s = 1 2 x 2 s 2 - 4 → h t = 1 2 sen h ⁡ 2 t

J s = 1 s 2 - 1 → j t = senh ⁡ t

Nosso próximo passo é aplicar o teorema sobre a convolução para encontrar f ( t ) :

f t = ∫ 0 t h t - τ j τ d τ

f ( t ) = ∫ 0 t 1 2 senh ⁡ 2 t - τ senh ⁡ τ d τ

f t = 1 2 ∫ 0 t senh ⁡ 2 t - τ senh ⁡ τ d τ

Nosso último passo é aplicar mais uma vez o teorema sobre a convolução para obter y ( t ) :

y t = ∫ 0 t g t - τ f τ d τ

y t = ∫ 0 t g t - τ 1 2 ∫ 0 t senh ⁡ 2 t - τ senh ⁡ τ d τ d τ

y t = 1 2 ∫ 0 t g t - τ ∫ 0 t senh ⁡ 2 t - τ senh ⁡ τ d τ d τ

Resposta

A equação dada é: y t = 1 2 ∫ 0 t g t - τ ∫ 0 t senh ⁡ 2 t - τ senh ⁡ τ d τ d τ

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