Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 17
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:
Passo 1
O exercício nos pede para encontrar a função . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:
Vamos chamar . Então:
Passo 2
Vamos agora chamar
Antes de continuar vamos relembrar o teorema de convolução. Ele diz que: se e existem e , a função pode ser descrita como:
Para o nosso exercício:
O que vamos fazer então é aplicar a transformada inversa nas funções e para encontrar e .
De acordo com a tabela 6.2.1:
Passo 3
Para o nosso exercício:
Aplicando o teorema sobre a convolução:
Resposta
A função dada é .
Exercícios de Livros Relacionados
Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a tr
Considere a equação integral de Volterra t + ∫ 0 t t - ξ ξ d ξ = s e n ( 2 t ) (a) Resolva a equação integral usando a transformada de Laplace.(b) Diferenciando a equação duas vezes, mostre que t sati
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução: y ' ' + ω 2 y = g t ; y 0 = 0ey ' 0 = 1
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace. t + 2 ∫ 0 t cos ( t - ξ ) ξ d ξ = e - t (b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial.(c) Resolva o problema
Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução: F s = s s + 1 s 2 + 4