Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

y'' + 4y' + 4y = g(t);

y(0) = 2 e y'(0) = -3

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = g ( t )

L y ' ' + 4 y ' + 4 y = L g ( t )

L y ' ' + L 4 y ' + L 4 y = L g ( t )

Vamos chamar L y t = Y ( s ) . Então:

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 4 s Y s - y 0 + 4 Y s = G ( s )

s 2 + 4 s + 4 Y s - s y 0 - y ' 0 - 4 y 0 = G ( s )

s 2 + 4 s + 4 Y s - 2 s + 3 - 8 = G ( s )

s 2 + 4 s + 4 Y s = G s + 2 s + 5

Y s = G s + 2 s + 5 s 2 + 4 s + 4

Y s = G s s + 2 2 + 2 s s + 2 2 + 5 s + 2 2

Y s = G s s + 2 2 + 2 x s + 2 s + 2 2 + 1 s + 2 2

Y s = G s s + 2 2 + 2 s + 2 + 1 s + 2 2

Passo 2

Vamos agora chamar

F s = 1 s + 2 2

H s = 2 x 1 s + 2

Antes de continuar vamos relembrar o teorema de convolução. Ele diz que: se F s = L f t e G s = L g t existem e Y s = L y t = F s x G ( s ) , a função y ( t ) pode ser descrita como:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Para o nosso exercício:

Y s = F s G ( s ) + H ( s ) + F ( s )

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + f t + h ( t )

O que vamos fazer então é aplicar a transformada inversa nas funções F ( s ) e H ( s ) para encontrar f ( t ) e h ( t ) .

De acordo com a tabela 6.2.1:

F s = 1 s - a 2 → f t = t e a t

H s = c 1 s - a → h t = c e a t

Passo 3

Para o nosso exercício:

F s = 1 s + 2 2 → f t = t e - 2 t

H s = 2 x 1 s + 2 → g t = 2 e - 2 t

Aplicando o teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + f t + h ( t )

y t = ∫ 0 t ( t - τ ) e - 2 t - τ g ( t ) d τ + t e - 2 t + 2 e - 2 t

Resposta

A função dada é y t = ∫ 0 t ( t - τ ) e - 2 t - τ g ( t ) d τ + t e - 2 t + 2 e - 2 t .

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