Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

lim x → 2 ⁡ x - 2 x - 2

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite (se ele existir):

lim x → 2 ⁡ x - 2 x - 2

Para isso, perceba que temos um módulo. Assim, deveremos analisar o que acontece quando a função dentro do módulo é positiva e negativa.

Caso não exista o limite, deveremos explicar o porquê.

Lembrando que um limite em um ponto só existe se seus limites laterais forem iguais!!

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Como no nosso limite tem uma função módulo temos que analisar algumas condições:

Quando o valor dentro do módulo for positivo, ou seja, quando:

x - 2 > 0 ∴ x > 2

Teremos que, aplicando o limite lateral pela direita:

lim x → 2 + ⁡ x - 2 x - 2 = ( x - 2 ) x - 2 ∴

Cortando os termos iguais:

lim x → 2 + ⁡ x - 2 x - 2 = 1 1 ∴

lim x → 2 + ⁡ x - 2 x - 2 = 1

Passo 3

Agora, quando o valor dentro do módulo for negativo, ou seja, quando:

x - 2 < 0 ∴ x < 2

Teremos que, aplicando o limite lateral pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ x - 2 x - 2 = - ( x - 2 ) x - 2 ∴

Cortando os termos iguais:

lim x → 2 - ⁡ x - 2 x - 2 = - 1 1 ∴

lim x → 2 - ⁡ x - 2 x - 2 = - 1

Logo, como os limites laterais tiveram resultados diferentes, então o limite não existe!!

Resposta

O limite não existe.

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