Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 45
Demonstre que, se é uma função de duas variáveis diferenciável em , então é contínua em . Sugestão: Mostre que
Passo 1
Usando a sugestão, se provarmos o limite dado, conseguimos afirmar que, para um incremento suficientemente pequeno e das coordenadas , a função converge para , o que prova que a função é contínua.
Se , podemos dizer que entre um ponto até um incremento nas coordenadas temos que a variação de é
Passo 2
Como a função é diferenciável podemos dizer também que
Igualando as duas equações
Quando todo o lado direito da equação
Logo a função é continua.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:l) f x , y = x 3 y x 2 + y 2 , ( x ,y ) ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 )
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:d) f x , y = y 4 + 3 x 2 y 2 + 2 y x 3 x 2 + y 2 2 ,( x , y ) ≠ ( 0,0 )0 , x , y = ( 0,0 )
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:a) f x , y = x 2 y + x y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:i) z = y x
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:b) z = e x y 2