Encontre a fórmula para f^(-1)(x) e de o domínio da função f^(-1)

20) f(x) = x - 5x^2, x >= 1

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f x

f y = x

f - 1 x = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f - 1 x

Bora lá?

Passo 2

Show então, nossa função vai ser:

y = x - 5 x 2

Parece que vai ser enrolado isolar o x ai né? Exatamente por isso, antes de inverter, vamos tentar reescrever essa função pra algo que fique mais fácil de manipular depois. Afinal, só dá pra inverter funções em que o x aparece uma única vez. Com isso em mente, vamos primeiro reorganizar y :

y = - 5 x 2 + x

- y = 5 x 2 - x

Depois vou somar e subtrair por uma constante qualquer b 2 de forma que isso não altere a função em nadica de nada:

- y = 5 x 2 - x + b 2 - b 2

Agora vem o pulo do gato, seja:

a x - b 2 = a 2 x 2 - 2 a b x + b 2

Se igualarmos esse polinômio de x acima com o polinômio de x que fizemos antes dele, obtemos:

a 2 x 2 - 2 a b x + b 2 = 5 x 2 - x + b 2

E igualando os coeficientes, vamos ter o seguinte sistema:

a 2 = 5 2 a b = 1 b 2 = b 2

Da primeira linha, tiramos que:

a = 5

Com esse resultado e com a segunda equação, achamos o valor de b :

2 5 b = 1

b = 1 2 5

E como a gente vai precisar também, temos o seguinte valor pra b 2 :

b 2 = 1 20

Perfeito! Galera, tudo até agora serviu pra provar que

5 x - 1 2 5 2 = 5 x 2 - x + 1 20

E como la do nosso - y , a gente tinha:

- y = 5 x 2 - x + b 2 - b 2

Substituindo b 2 e fazendo a devida substituição:

- y = 5 x 2 - x + 1 20 - 1 20

- y = 5 x - 1 2 5 2 - 1 20

Viu que agora - y está com uma expressão que só tem x escrito uma única vez? Então daqui em diante que a gente vai começar a inverter, ok?

Passo 3

Vamo que vamo! Da nossa última equação, podemos somar os dois lados por 1 20 e chegar em:

1 20 - y = 5 x - 1 2 5 2 - 1 20 + 1 20

1 20 - y = 5 x - 1 2 5 2

Tomando a raiz à quarta dos dois lados, temos:

± 1 20 - y = 5 x - 1 2 5

E somando 1 2 5 dos dois lados:

1 2 5 ± 1 20 - y = 5 x - 1 2 5 + 1 2 5

5 x = 1 2 5 ± 1 20 - y

Fechamos essa doidera inteira ao dividir os dois lados por 5 e arrumar um pouco a função

5 x 5 = 1 2 5 ± 1 20 - y 5

x = 1 2 ∙ 5 ± 1 20 - y 5

x = 1 10 ± 1 100 - y 5

x = 1 10 ± 1 - 20 y 100

x = 1 10 ± 1 10 1 - 20 y

x = 1 10 1 ± 1 - 20 y

Quando a gente faz raiz par, sempre existe a possibilidade de a resposta ser ± , então não esquece, ok? Só que a gente vai acabar escolhendo só um dos sinais. Afinal, o enunciado disse que:

x ≥ 1

Olhando bem pra função x = f y que montamos, vemos que o sinal de negativo não faz muito sentido pois ele não iria satisfazer a condição do enunciado! Então o certo vai ser considerar somente:

x = 1 10 1 + 1 - 20 y

Agora pra gente fechar, vamos achar o intervalo de y que está valendo. Láááá do enunciado a gente tem que:

y = x - 5 x 2 ,     x ≥ 1

Po galera, quando x = 1 exatamente, isso acaba dando:

y = 1 - 5 = - 4

Agora quando x é maior, o termo 5 x 2 vai fazer y ficar cada vez mais negativo!! Sendo assim, o intervalo de y correto é:

y ≤ - 4

E pronto galera, fechamos tudo! Porque juntando esse intervalo com o x = f y encontrado, temos:

x = 1 10 1 + 1 - 20 y ,     y ≤ - 4

Pra achar a inversa basta trocar x , y de lado! Vamos ter:

y = 1 10 1 + 1 - 20 x ,     x ≤ - 4

E a resposta final, no formato certo bonitinho é:

f - 1 x = 1 10 1 + 1 - 20 x

D f - 1 = x ∈ ] - ∞ , - 4 ]

Resposta

f - 1 x = 1 10 1 + 1 - 20 x

D f - 1 = x ∈ ] - ∞ , - 4 ]

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