Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 20
Encontre a fórmula para e de o domínio da função
Passo 1
Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:
Por extenso, temos:
- Passo 1: Escrever a função como igual a uma função de
- Passo 2: Isolar de forma que possamos escrever ele como uma função de
- Passo : Trocar de lugar e chamar a nova função de encontrada da inversa
Bora lá?
Passo 2
Show então, nossa função vai ser:
Parece que vai ser enrolado isolar o ai né? Exatamente por isso, antes de inverter, vamos tentar reescrever essa função pra algo que fique mais fácil de manipular depois. Afinal, só dá pra inverter funções em que o aparece uma única vez. Com isso em mente, vamos primeiro reorganizar :
Depois vou somar e subtrair por uma constante qualquer de forma que isso não altere a função em nadica de nada:
Agora vem o pulo do gato, seja:
Se igualarmos esse polinômio de acima com o polinômio de que fizemos antes dele, obtemos:
E igualando os coeficientes, vamos ter o seguinte sistema:
Da primeira linha, tiramos que:
Com esse resultado e com a segunda equação, achamos o valor de :
E como a gente vai precisar também, temos o seguinte valor pra :
Perfeito! Galera, tudo até agora serviu pra provar que
E como la do nosso , a gente tinha:
Substituindo e fazendo a devida substituição:
Viu que agora está com uma expressão que só tem escrito uma única vez? Então daqui em diante que a gente vai começar a inverter, ok?
Passo 3
Vamo que vamo! Da nossa última equação, podemos somar os dois lados por e chegar em:
Tomando a raiz à quarta dos dois lados, temos:
E somando dos dois lados:
Fechamos essa doidera inteira ao dividir os dois lados por e arrumar um pouco a função
Quando a gente faz raiz par, sempre existe a possibilidade de a resposta ser , então não esquece, ok? Só que a gente vai acabar escolhendo só um dos sinais. Afinal, o enunciado disse que:
Olhando bem pra função que montamos, vemos que o sinal de negativo não faz muito sentido pois ele não iria satisfazer a condição do enunciado! Então o certo vai ser considerar somente:
Agora pra gente fechar, vamos achar o intervalo de que está valendo. Láááá do enunciado a gente tem que:
Po galera, quando exatamente, isso acaba dando:
Agora quando é maior, o termo vai fazer ficar cada vez mais negativo!! Sendo assim, o intervalo de correto é:
E pronto galera, fechamos tudo! Porque juntando esse intervalo com o encontrado, temos:
Pra achar a inversa basta trocar de lado! Vamos ter:
E a resposta final, no formato certo bonitinho é: