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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 30

Encontre f ' ( x ) pela Fórmula (7) e, então, por derivação logarítmica:

f x = π x . t g ( x )

Passo 1

Considerando a função : f x = π x . t g ( x )

Precisamos achar d y d x .

Aplicando na fórmula (7):

d d x b u = b u . ln ⁡ b . d u d x

Considerando :

u = π

b = x . t g ( x )  

Aplicando na fórmula:

d d x π - x = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . d [ x . t g ( x ) ] d x

A derivada de d [ x . t g ( x ) ] d x pode ser vista no exercício 21 desse capítulo:

d d x π - x = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ ( x ) ]

f ' ( x ) = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ ( x ) ]

Passo 2

Considerando a derivação por diferenciação logarítmica:

f x = y = f x = π x . t g ( x )

Aplicamos logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( π x . t g x )

Aplicando a propriedade de logaritmo para potências:

ln ⁡ y = x . t g ( x ) . l n ⁡ ( π )

Diferenciando de ambos os lados:

d dx [ ln ⁡ y ] = d d x [ x . t g ( x ) . l n ⁡ ( π ) ]

Retiramos a constante de dentro da derivada:

d dx [ ln ⁡ y ] = ln ⁡ π d d x x . t g ( x ) )

d y d x . 1 y = ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ x ]  

Multiplicar ambo os lados por y :

d y d x = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ ( x ) ]

Resposta

f ' ( x ) = π s e n x . ln ⁡ π . ( cos ⁡ x )

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