Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 30

Encontre f ' ( x ) pela Fórmula (7) e, então, por derivação logarítmica:

f x = π x . t g ( x )

Passo 1

Considerando a função : f x = π x . t g ( x )

Precisamos achar d y d x .

Aplicando na fórmula (7):

d d x b u = b u . ln ⁡ b . d u d x

Considerando :

u = π

b = x . t g ( x )  

Aplicando na fórmula:

d d x π - x = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . d [ x . t g ( x ) ] d x

A derivada de d [ x . t g ( x ) ] d x pode ser vista no exercício 21 desse capítulo:

d d x π - x = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ ( x ) ]

f ' ( x ) = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ ( x ) ]

Passo 2

Considerando a derivação por diferenciação logarítmica:

f x = y = f x = π x . t g ( x )

Aplicamos logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( π x . t g x )

Aplicando a propriedade de logaritmo para potências:

ln ⁡ y = x . t g ( x ) . l n ⁡ ( π )

Diferenciando de ambos os lados:

d dx [ ln ⁡ y ] = d d x [ x . t g ( x ) . l n ⁡ ( π ) ]

Retiramos a constante de dentro da derivada:

d dx [ ln ⁡ y ] = ln ⁡ π d d x x . t g ( x ) )

d y d x . 1 y = ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ x ]  

Multiplicar ambo os lados por y :

d y d x = π x . t g ( x ) . ln ⁡ π . [ t g x + x . sec 2 ⁡ ( x ) ]

Resposta

f ' ( x ) = π s e n x . ln ⁡ π . ( cos ⁡ x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas das funções nos Exercícios 17-40. y = x 9 / 4 + e - 2 x
Nos exercícios de 1 a 26, diferencie a função dada e simplifique o resultado.10) g y = ln ⁡ ( ⁡ l n y )
Nos exercícios de 1 a 26, diferencie a função dada e simplifique o resultado.14) g x = ln ⁡ c o s x
Nos exercícios de 1 a 26, diferencie a função dada e simplifique o resultado.8) G x = l n ⁡ 1 + 4 x 2
Nos exercícios de 1 a 26, diferencie a função dada e simplifique o resultado.15) G x = ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g2 x