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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 83

Encontre uma fórmula fechada para a n-ésima soma parcial da série ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ ( 1 - ( 1 / n 2 ) ) e utilize-a para determinar a convergência ou divergência da série.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série,

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 n 2  

Vamos encontrar uma fórmula para a enésima soma parcial dessa série. Tal soma pode ser escrita como:

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 n 2   = ∑ k = 2 n ln ⁡ 1 - 1 k 2 = ∑ k = 2 n ln ⁡ 1 + 1 k 1 - 1 k =

Aplicando as propriedades de logaritmo,

∑ k = 2 n l n 1 + 1 k + ln ⁡ 1 - 1 k = ∑ k = 2 n l n k + 1 k + ln ⁡ k - 1 k =    

∑ k = 2 n l n k + 1 - ln ⁡ k + ln ⁡ k - 1 - l n ⁡ ( k ) =

l n 3 - 2 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 1 + l n 4 - 2 ln ⁡ 3 + ln ⁡ 2 + . . . + l n n + 1 - 2 ln ⁡ n + ln ⁡ n - 1

Eliminando os termos comuns,

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 n 2   = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + l n n + 1 - ln ⁡ n  

Passo 2

Por fim, vamos manipular essa fórmula da enésima soma e determinar sua possível convergência.

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 n 2   = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + l n n + 1 - ln ⁡ n = l n n + 1 - ( ln ⁡ 2 + ln ⁡ n )    

Aplicando as propriedades de logaritmo,

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 n 2   = l n n + 1 - ln ⁡ 2 n = ln ⁡ n + 1 2 n

Assim, temos que:

ln ⁡ 1 - 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 2 n = ln ⁡ 1 2

Portanto, a série dada é convergente e converge para ln ⁡ 1 2 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

A série converge para ln ⁡ 1 2 .

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