a. Encontre a série de Maclaurin para a função x^2 / (1 + x) .

b. A série converge em x = 1? Explique.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

(a)

A série de Maclaurin para a função x 2 1   +   x é:

x 2 1   +   x =   x 2 1 - ( -   x ) = x 2 + x 2 - x + x 2 - x 2 + x 2 - x 3 + …

x 2 1   +   x =   x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + … = ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n  

Tal série converge absolutamente para x < 1 .

(b)

Para x = 1 a série fica assim,

∑ n = 2 ∞ - 1 n ( 1 ) n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n

que é uma série alternada divergente. Portanto, a série diverge em x = 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

(a) a série de Maclaurin é ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n   . (b) A série diverge em x = 1 .

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