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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 86

a. Encontre a série de Maclaurin para a função x 2 / ( 1   +   x ) .

b. A série converge em x = 1? Explique.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

(a)

A série de Maclaurin para a função x 2 1   +   x é:

x 2 1   +   x =   x 2 1 - ( -   x ) = x 2 + x 2 - x + x 2 - x 2 + x 2 - x 3 + …

x 2 1   +   x =   x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + … = ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n  

Tal série converge absolutamente para x < 1 .

(b)

Para x = 1 a série fica assim,

∑ n = 2 ∞ - 1 n ( 1 ) n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n

que é uma série alternada divergente. Portanto, a série diverge em x = 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

(a) a série de Maclaurin é ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n   . (b) A série diverge em x = 1 .

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Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.43. 1 - 3 2 4 2 ⋅2 ! + 3 4 4 4 ⋅4 ! - 3 6 4 6 ⋅6 ! +⋅ ⋅ ⋅
Estabeleça as equações no Exercício 68 combinando a série de Taylor formal para e i θ e e - i θ .
Utilize a Equação 4 para escrever as potências de e a seguir na forma a + b i .a. e - i π b. e i π / 4 c. e - i π / 2
Quando a e b são reais, definimos e ( a + i b ) x com a equação e ( a+ i b ) x =e a x ⋅e i b x=e a x ( c o sb x+is e nb x ) .Derive o lado direito dessa equação para mostrar que d d x e ( a + i b ) x
Substitua x por - x na série de Taylor para l n ( 1+x ) para obter uma série para l n ( 1-x ) . Em seguida, subtraia da série de Taylor para l n ( 1-x ) para mostrar que, para | x |1 , l n1+x 1-x=2x +