Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 29
Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que é uma ferramenta útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já conhecemos o comportamento. Se nossa série é menor que a série convergente, ela também é convergente. Se ela é maior que uma série divergente, ela também é divergente.
Primeiro, vamos lembrar que a função arctangente(), , é uma função limitada. O que significa que ela nunca ultrapassa certos valores, independente de quão grande seja. Isso significa que, para qualquer , temos:
Agora, vamos usar isso para montar uma desigualdade com os termos da nossa série.
Se a está sempre entre e . Então, quando dividimos isso por , ainda estará entre e dividido por . Ou seja:
Resumindo, a expressão é sempre menor ou igual a . Para simplificar ainda mais, podemos reescrever como . Então, temos:
Passo 2
Agora, olhamos para a série . Esta é uma p-série com . E aqui está o ponto importante sobre p-séries:
- Uma p-série converge se .
Como , a série é convergente.
Como e sabemos que converge, pelo teste de comparação, podemos concluir que a série original também é convergente.
Resposta
A série é convergente.