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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 52

Encontre uma função f tal que f ' ' x = x + cos ⁡ x e, além disso, f 0 = 1 e f ' 0 = 2 . [Sugestão: Integre ambos os lados da equação duas vezes.]

Passo 1

Bom galera, esse problema é muito mais fácil do que parece, basta a gente integrar duas vezes a nossa função e usar o problema de valor inicial para chegar a nossa função:

f x = ∫ f ' x   d x = ∫ ∫ f ' ' x   d x   d x

Passo 2

Beleza, agora vamos integrar a primeira vez:  

f ' x = ∫ f ' ' x d x

→ f ' x = ∫ x + cos ⁡ x d x

Integrando isso, encontramos:

f ' x = x 2 2 + sin ⁡ x + C 1

Passo 3

Show de bola pessoal, a gente vai usar o problema de valor inicial para descobrirmos o valor de C 1 :

f ' 0 = 2 = 0 2 2 + sin ⁡ 0 + C 1

→ 2 = 0 + C 1

→ C 1 = 2

Logo, nossa função derivada é:

f ' x = x 2 2 + sin ⁡ x + 2

Passo 4

Por fim, fazemos isso mais uma vez:

f x = ∫ x 2 2 + sin ⁡ x + 2   d x

→ f x = x 3 6 - cos ⁡ x + 2 x + C 2

Denovo o problema de valor inicial:

f 0 = 1 = ( 0 ) 3 6 - cos ⁡ 0 + 2 ( 0 ) + C 2

→ 1 = 0 - 1 + 0 + C 2

→ C 2 = 2

Logo, nossa função é:

f x = x 3 6 - cos ⁡ x + 2 x + 2

Resposta

f x = x 3 6 - cos ⁡ x + 2 x + 2

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